OER Stochastik NRW: ORCA.nrw / OpenRUB
Kursthemen
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Einsatz und zur Weiterentwicklung aller Materialien aus dem Projekt.
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Dieses Video vermittelt einen Ăberblick ĂŒber die Materialien des Projekts.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Grundbegriffe".
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Am Beispiel der Farbverteilung von Schokolinsen wird der Begriff der Zufallsvariablen eingefĂŒhrt.
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Am Beispiel des zweifachen WĂŒrfelwurfs werden grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie eingefĂŒhrt.
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Diese interaktive Anwendung stellt zwei stochastische GesetzmĂ€Ăigkeiten vor. Zum einen werden verschiedene Aspekte des Gesetzes der groĂen Zahlen erkundet und zum anderen der Grenzwertsatz, der die Basis fĂŒr den Chi-Quadrat-Test bildet.
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Das Bertrand-Paradoxon kann durch verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten der Kreissehne interaktiv erkundet werden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die Erkundung an. Mathematische ErklĂ€rungen der jeweiligen geometrischen Wahrscheinlichkeiten regen zum Nachdenken ĂŒber die Frage nach dem zugrunde liegenden stochastischen Modell an.
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In der ersten Teilaufgabe ist der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments gesucht. In der zweiten Teilaufgabe soll ein Ereignis als Menge angegeben werden. In der dritten Teilaufgabe ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass das Ereignis eintritt.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Kombinatorik".
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In diesem Video werden die vier kombinatorischen Grundformeln eingefĂŒhrt und ein Ăberblick gegeben. Das Fundamentalprinzip des ZĂ€hlens wird besprochen und die erste Grundformel fĂŒr Ziehen mit ZurĂŒcklegen unter Beachtung der Reihenfolge wird vorgestellt.
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In diesem Video werden die zweite und dritte kombinatorische Grundfigur / - formel besprochen. Das Ziehen ohne ZurĂŒcklegen mit beziehungsweise ohne Beachtung der Reihenfolge werden ausfĂŒhrlich motiviert und mit Anwendungsbeispielen verdeutlicht.
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In diesem dritten Video zur Kombinatorik wird die vierte kombinatorische Grundfigur / - formel thematisiert, das Ziehen mit ZurĂŒcklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Ăbergang zum Ă€quivalenten KĂ€stchenmodell wird besprochen und Anwendungsbeispiele verdeutlichen diese letzte Grundformel.
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Der Unterschied zwischen den Dichten von hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung kann fĂŒr verschiedene Kombinationen ihrer Parameter interaktiv erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. Werden beide Verteilungen als Modelle fĂŒr das Ziehen von Kugeln mit oder ohne ZurĂŒcklegen interpretiert, kann bei festem MischungsverhĂ€ltnis der Kugeln die immer deutlichere AnnĂ€herung beider Modelle beobachtet werden. Der Beweis der entsprechenden Grenzwertaussage liefert eine mathematische ErklĂ€rung fĂŒr die beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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In dieser Aufgabe lösen die Studierenden ein kombinatorisches Problem, in dem es um die Verteilung von GepĂ€ckstĂŒcken auf Zugabteile geht.
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Die Anwendung der verschiedenen kombinatorischen Grundformeln wird an einem weiteren Beispiel veranschaulicht.
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Es wird die Verwendung einfacher kombinatorischer Formeln demonstriert.
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Die Anwendung der verschiedenen kombinatorischen Grundformeln wird an einem Beispiel veranschaulicht.
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Die Anwendung des Laplace-Modells wird an einem einfachen Beispiel illustriert.
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Die Anwendung der verschiedenen kombinatorischen Grundformeln und des Laplace-Modells wird an einem Beispiel veranschaulicht.
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Die Anwendung der verschiedenen kombinatorischen Grundformeln wird an einem Beispiel veranschaulicht.
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Die Anwendung der verschiedenen kombinatorischen Grundformeln wird an einem Beispiel veranschaulicht.
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Die Anwendung der Binomialverteilung wird an einem Beispiel illustriert.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden verschiedene kombinatorische Fragestellungen, die beim BefĂŒllen eines Apothekerschranks auftreten, aus der Sicht eines Urnenmodells oder eines FĂ€chermodells betrachten und mithilfe eines passenden kombinatorischen Modells lösen.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden verschiedene Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten fĂŒr das Lottospiel 6aus49 berechnen. Dazu wird die Modellierung mit einem kombinatorischen Modell und der hypergeometrischen Verteilung schrittweise aufgebaut. WeiterfĂŒhrende Aufgabenteile berĂŒcksichtigen zusĂ€tzlich die Ziehung der Superzahl und das Lottospiel mit System.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Bedingte Wahrscheinlichkeiten und UnabhÀngigkeit".
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In diesem Video wird der Zusammenhang zwischen Baumdiagrammen und WahrscheinlichkeitsrÀumen erklÀrt. Es wird darauf eingegangen, wie man diskrete Verteilungen mithilfe von Baumdiagrammen darstellen kann und wie Baumdiagramme zur Lösung kombinatorischer Probleme beitragen können.
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Anhand eines anschaulichen Beispiels wird der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit motiviert und die definierende Formel heuristisch hergeleitet. Durch ein Rechenbeispiel wird deutlich, dass klar zwischen dem bedingenden und dem interessierenden Ereignis unterschieden werden muss. Die Verbindung zu zweistufigen Zufallsprozessen und Baumdiagrammen wird hergestellt.
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Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes werden an Rechenbeispielen illustriert. AnschlieĂend werden beide Formeln mathematisch prĂ€zise formuliert.
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Anhand eines Rechenbeispiels werden die Begriffe SensitivitĂ€t, SpezifitĂ€t und PrĂ€valenz erklĂ€rt und Formeln fĂŒr den positiven und den negativen prĂ€diktiven Wert heuristisch hergeleitet. Die Interpretation und Bedeutung prĂ€diktiver Werte in der medizinischen Diagnostik wird hervorgehoben. Die mathematischen AbhĂ€ngigkeiten der prĂ€diktiven Werte von der SensitivitĂ€t, SpezifitĂ€t und PrĂ€valenz werden grafisch diskutiert.
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In dieser interaktiven Anwendung werden die erste und zweite Pfadregel in Baumdiagrammen und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit behandelt.
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In dieser interaktiven Anwendung wird der Satz von Bayes besprochen und auf bedingte Wahrscheinlichkeiten eingegangen. Die SensitivitÀt und SpezifitÀt diagnostischer Tests in der Medizin dient als Anwendungsbeispiel.
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Die Werte von SensitivitĂ€t, SpezifitĂ€t und PrĂ€valenz können interaktiv verĂ€ndert werden, um ihre Auswirkungen auf den positiven und den negativen prĂ€diktiven Wert sichtbar zu machen. AusfĂŒhrliche Rechnungen mit dem Satz von Bayes bieten eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Das Ziegenproblem kann interaktiv in ein Baumdiagramm ĂŒbertragen werden. In anschlieĂenden ArbeitsauftrĂ€gen mit ausfĂŒhrlichen ErklĂ€rungen werden die Gewinnwahrscheinlichkeiten fĂŒr verschiedene Spielstrategien berechnet und verglichen.
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In dieser Aufgabe wird die Verwendung eines Baumdiagramms zur Lösung kombinatorischer Fragestellungen demonstriert. Erst sollen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm bestimmt werden. Dann sollen die erste und die zweite Pfadregel angewendet werden.
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In dieser Aufgabe sollen mithilfe einer Vierfeldertafel fĂŒr Wahrscheinlichkeiten zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.
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In einer Vierfeldertafel sollen mithilfe einiger bedingter Wahrscheinlichkeiten die fehlenden EintrÀge bestimmt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden zuerst den in der Aufgabenstellung gegebenen Sachkontext in bedingte Wahrscheinlichkeiten ĂŒbertragen. AnschlieĂend sollen sie zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten mit dem Satz von Bayes berechnen.
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In der Aufgabe werden zufĂ€llige Werte von SensitivitĂ€t, SpezifitĂ€t und PrĂ€valenz generiert. Die Studierenden sollen dann GröĂen berechnen, die bei diagnostischen Testverfahren hĂ€ufig Verwendung finden, wie die Falsch-Positiv-Rate, die Falscherkennungsrate oder prĂ€diktive Werte. Dabei wird das Rechnen mit dem Satz von Bayes eingeĂŒbt.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden zuerst den in der Aufgabenstellung gegebenen Sachkontext in bedingte Wahrscheinlichkeiten ĂŒbertragen. AnschlieĂend sollen sie eine Wahrscheinlichkeit mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden zuerst das in der Aufgabenstellung formulierte Ziegenproblem in ein Baumdiagramm ĂŒbertragen. AnschlieĂend sollen sie mit dem Multiplikationssatz eine allgemeine Formel fĂŒr die Gewinnwahrscheinlichkeit in AbhĂ€ngigkeit von der Spielstrategie herleiten. SchlieĂlich sollen sie verschiedene Spielstrategien miteinander vergleichen und die beste Spielstrategie bestimmen.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden in einem endlichen Laplace-Raum Beispiele fĂŒr drei nichtleere Ereignisse angeben, die die Definition der UnabhĂ€ngigkeit von Ereignissen nur in Teilen erfĂŒllen. AuĂerdem sollen sie ein Gegenbeispiel angeben, das zeigt, dass die UnabhĂ€ngigkeit von Ereignissen nicht transitiv ist.
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In der Aufgabe wird zufĂ€llig eine bivariate ZĂ€hldichte generiert. Die Studierenden sollen dann die Randdichten der Projektionsabbildungen und die Dichte des ProduktmaĂes berechnen. Basierend darauf sollen sie entscheiden, ob die Zufallsvariablen unabhĂ€ngig sind oder nicht.
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In der Aufgabe wird zufĂ€llig eine bivariate Dichtefunktion generiert. Die Studierenden sollen dann die Randdichten der Projektionsabbildungen und die Dichte des ProduktmaĂes berechnen. Basierend darauf sollen sie entscheiden, ob die Zufallsvariablen unabhĂ€ngig sind oder nicht.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Diskrete Verteilungen".
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Anhand eines anschaulichen Beispiels wird das Konvergenzverhalten der Binomialverteilung gegen die Poisson-Verteilung motiviert. Der Poissonsche Grenzwertsatz wird mathematisch prÀzise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die Poisson-Approximation wird erklÀrt und mit einem Rechenbeispiel sowie grafisch illustriert.
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Die Begriffe Erwartungswert und Varianz werden motiviert und die definierenden Formeln grafisch erklĂ€rt. Das Video behandelt dabei nur den diskreten Fall. Die Rechenregeln fĂŒr Erwartungswert und Varianz unter Verschiebung bzw. Skalierung der Zufallsvariablen werden sowohl grafisch visualisiert als auch rechnerisch hergeleitet.
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FĂŒr verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Poisson-Verteilung interaktiv erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. Der Beweis des Poissonschen Grenzwertsatzes liefert eine mathematische ErklĂ€rung fĂŒr die beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Bei der Binomialverteilung wird in AbhĂ€ngigkeit vom auf der horizontalen Achse eingestellten Wert \(a\) die gewichtete Summe der quadratischen Abweichungen von \(a\) als MaĂ fĂŒr die Streuung visualisiert. Wird fĂŒr \(a\) exakt der Erwartungswert eingestellt, wird die Streuung minimal. Dies motiviert die Definition der Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
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In dieser interaktiven Anwendung verÀndern die Studierenden den Parameter einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen und beobachten die resultierenden VerÀnderungen ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion, des Erwartungswerts und der Varianz.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe sollen zwei Wahrscheinlichkeiten berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer Zufallsvariablen angegeben werden. Die Aufgabe kann sowohl mit der Binomial- als auch mit der Poisson-Verteilung gelöst werden.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Poisson-Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe geht es um die Modellierung von Daten mit der Poisson-Verteilung. Dabei sind SchĂ€tzwerte fĂŒr den Parameter der Verteilung, den Erwartungswert sowie die Varianz der Verteilung und fĂŒr eine Wahrscheinlichkeit gesucht.
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Diese Aufgabe ist Àhnlich der Aufgabe "Verkehrstote (diskrete Zufallsvariablen)". Die Besonderheit ist hier, dass die Studierenden zu Beginn der Aufgabe selbst Daten recherchieren sollen.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der geometrischen Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe geht es um zwei diskrete Zufallsvariablen \(X, Y\) und ihre gemeinsame Verteilung. Nacheinander sollen die marginalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X+Y\), der Erwartungswert sowie die Varianz beider Zufallsvariablen, ihre Kovarianz und ihr Korrelationskoeffizient angegeben werden. Zuletzt soll entschieden werden, ob die Zufallsvariablen unabhÀngig sind.
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In dieser Aufgabe geht es um einen unfairen WĂŒrfel. ZunĂ€chst sollen die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zahlen 1 bis 6 gewĂŒrfelt werden, so bestimmt werden, dass der WĂŒrfel bestimmte Eigenschaften erfĂŒllt. AnschlieĂend soll durch das DurchfĂŒhren eines Zufallsexperiments ein SchĂ€tzwert empirisch ermittelt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschlieĂend mit der Poisson-Approximation approximativ berechnen. AuĂerdem wird die GröĂenordnung des Approximationsfehlers abgefragt. Nachdem die Aufgabe richtig gelöst wurde, können die Studierenden mit einer interaktiven Anwendung erkunden, wie sich der Approximationsfehler Ă€ndert, wenn die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung verĂ€ndert werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit mithilfe der Chebychev-Ungleichung nach unten abschĂ€tzen. Zuerst identifizieren sie die Binomialverteilung als korrekte Modellierung des Sachkontextes und berechnen deren Erwartungswert und Varianz. AnschlieĂend formen Sie das Ereignis auf die Form der Chebychev-Ungleichung um und wenden diese zur AbschĂ€tzung der Wahrscheinlichkeit an.
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Die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen sollen bei Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse bestimmt werden.
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In dieser Aufgabe sind zwei unabhÀngige, diskrete Zufallsvariablen gegeben. Nachdem die Studierenden die gemeinsame Verteilung dieser Zufallsvariablen bestimmt haben, wird nach der Verteilung der Summe und nach der Verteilung des Maximums gefragt. Im letzten Aufgabenteil soll der Korrelationskoeffizient angegeben werden.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Stetige Verteilungen".
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Am Beispiel der Verteilung des Gewichts von Schokolinsen wird der Begriff der stetigen Zufallsvariablen eingefĂŒhrt.
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In diesem Video wird eine EinfĂŒhrung zu Mengensystemen und WahrscheinlichkeitsrĂ€umen gegeben. Es wird motiviert, wieso die MaĂtheorie nötig ist, um realistische Probleme stochastisch zu modellieren. Elementare Objekte der Stochastik wie Zufallsvariablen, Mess- und WahrscheinlichkeitsrĂ€ume sowie Sigma-Algebren werden motiviert. Die Notwendigkeit der Konstruktion der Borel-Sigma-Algebra wird thematisiert und Anwendungsbeispiele vertiefen die Inhalte.
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Die Parameter der Normalverteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Die Parameter der Gumbel-Verteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Die Parameter der Weibull-Verteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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In dieser Aufgabe geht es um eine Funktion \(f\), die auf einem gegebenen Intervall die Funktionswerte einer unbekannten Funktion \(g\) und sonst den Wert \(0\) annimmt. Die Studierenden sollen ein Beispiel fĂŒr eine Funktion \(g\) angeben, sodass \(f\) die Eigenschaften einer Dichtefunktion erfĂŒllt.
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Bei einer Funktion sollen die Axiome einer Wahrscheinlichkeitsdichte, vor allem aber die Normierung, ĂŒberprĂŒft werden.
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In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es sich bei einer gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt, und der Wert der Verteilungsfunktion an einer bestimmten Stelle soll berechnet werden.
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Es soll die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bestimmt werden, die durch Anwendung einer Funktion auf eine Zufallsvariable mit bekannter Verteilung entsteht.
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In der Aufgabe wird zufÀllig eine Dichtefunktion generiert, die eine Exponential-, Erlang- oder Chi-Quadrat-Verteilung beschreibt. Die Studierenden sollen Erwartungswert, zweites Moment und Varianz einer Zufallsvariablen mit dieser Dichtefunktion berechnen.
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Die Lebensdauer eines Fahrradschlauchs wird durch eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion modelliert. Es sollen die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einen gegebenen Wert ĂŒberschreitet, und der Erwartungswert berechnet werden.
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Eine Fahrradlampe setzt sich aus vier LEDs zusammen, deren Lebensdauer als unabhĂ€ngige, exponentialverteilte Zufallsvariable modelliert wird. Im ersten Aufgabenteil soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass die Lebensdauer einer einzelnen LED eine vorgegebene Grenze ĂŒberschreitet. Im zweiten Aufgabenteil wird die Lebensdauer der gesamten Fahrradlampe untersucht. Es soll hier ebenfalls eine Ăberschreitungswahrscheinlichkeit ausgerechnet werden.
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Der Wasserstand der Ruhr in Hattingen wird durch eine Zufallvariable mit stetiger Verteilung modelliert. Die Studierenden sollen die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Pegel ĂŒberschritten wird, mithilfe der Verteilungsfunktion bestimmen. In einem zweiten Aufgabenteil wird nach der Verteilungsfunktion einer Transformierten dieser Zufallsvariablen gefragt.
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Das Gewicht eines zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂŒsliriegels ist durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit gegebenem Erwartungswert und gegebener Varianz modelliert. Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass der MĂŒsliriegel ein vorgegebenes Gewicht unterschreitet.
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Das Gewicht eines zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂŒsliriegels ist durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit gegebenem Erwartungswert und gegebener Varianz modelliert. Die MĂŒsliriegel werden in 4er Packungen verkauft. Die Studierenden sollen den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtgewichts einer solchen Packung berechnen. Im zweiten Aufgabenteil soll der Erwartungswert und die Varianz des arithmetischen Mittels der Riegel in einer Packung berechnet werden.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Zentraler Grenzwertsatz und Normalapproximation".
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Ausgehend von Beobachtungen beim Galtonbrett wird das Verhalten der Binomialverteilung fĂŒr wachsendes \(n\) untersucht. Die Auswirkungen von Zentrierung und Standardisierung auf die Dichte und die Verteilungsfunktion werden grafisch dargestellt. SchlieĂlich wird der zentrale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace mathematisch prĂ€zise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die GĂŒltigkeit der Aussage auch ohne eine konkrete Verteilungsannahme wird diskutiert.
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Ein interaktives Galtonbrett illustriert den zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace, da sich annÀhernd eine Normalverteilung einstellt. Ein interaktives Kapteynbrett, eine multiplikative Version des Galtonbretts, ergibt stattdessen eine AnnÀherung an eine Log-Normalverteilung. In ArbeitsauftrÀgen sollen die Beobachtungen mathematisch modelliert und mit dem zentralen Grenzwertsatz erklÀrt werden.
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FĂŒr verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Normalverteilung interaktiv erkundet werden. Ebenso kann die Genauigkeit der Normalapproximation (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) anhand der Verteilungsfunktionen von standardisierter Binomialverteilung und Standardnormalverteilung erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafiken an. Der zentrale Grenzwertsatz liefert eine mathematische ErklĂ€rung fĂŒr die beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschlieĂend mit der Normalapproximation approximativ berechnen. Die Normalapproximation soll einmal mit und einmal ohne Stetigkeitskorrektur durchgefĂŒhrt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine normalverteilte Zufallsvariable um ein Vielfaches der Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. AnschlieĂend soll dieselbe Fragestellung fĂŒr das arithmetische Mittel von normalverteilten Zufallsvariablen untersucht werden.
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Fluglinien verkaufen oft mehr Tickets fĂŒr einen Flug, als es PlĂ€tze im Flugzeug gibt. Die Anzahl der zum Abflug erscheinenden Passagiere wird als Realisierung einer binomialverteilten Zufallsvariablen modelliert. In dieser Aufgabe soll mithilfe der Normalapproximation die Ăberbuchungswahrscheinlichkeit fĂŒr einen Transatlantikflug berechnet werden.
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Statistik".
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Am Beispiel der Verteilung des Gewichts von Schokolinsen werden das Histogramm und die empirische Verteilungsfunktion eingefĂŒhrt.
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In dieser interaktiven Anwendung können die Studierenden den Einfluss der Klassenbreite auf das Histogramm untersuchen. Dabei können ein voreingestellter Datensatz, eigene DatensÀtze oder zufÀllig erzeugte DatensÀtze verwendet werden.
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In dieser interaktiven Anwendung wĂŒrfeln die Studierenden digital mit einem sechsseitigen fairen WĂŒrfel. Der Fokus liegt auf dem Vergleich verschiedener Darstellungs- bzw. Visualisierungsformen des durch mehrfaches WĂŒrfeln entstehenden Datensatzes, der die Ergebnisse der DurchfĂŒhrungen enthĂ€lt.
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In dieser interaktiven Anwendung wird die Residuenquadratsumme als MaĂ fĂŒr die GĂŒte eines Regressionsmodells thematisiert. Zudem erkunden die Studierenden, welche Auswirkungen die VerĂ€nderung von Daten auf ein angepasstes Modell haben kann.
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In dieser interaktiven Anwendung werden jeweils zwei verschiedene SchĂ€tzer fĂŒr den Erwartungswert und die Varianz normalverteilter Daten diskutiert. Um die Verteilung dieser SchĂ€tzer zu veranschaulichen, können Daten mit verschiedenen Parametern simuliert werden.
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In dieser interaktiven Anwendung werden jeweils zwei verschiedene SchĂ€tzer fĂŒr den Erwartungswert und die Varianz normalverteilter Daten diskutiert. Die SchĂ€tzer können dann in Hinblick auf die KenngröĂen MSE und Bias verglichen werden. Dazu kann der Prozess der Stichprobenziehung mit verschiedenen Parametern simuliert werden.
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Diese Anwendung behandelt die Grundlagen der Testtheorie im Sachkontext der QualitÀtskontrolle. Es werden die beiden Begriffe Fehler 1. Art und Fehler 2. Art anhand zweier unterschiedlicher Testverfahren thematisiert. Es wird zunÀchst ein naives Testverfahren vorgeschlagen und danach der Binomialtest untersucht.
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In dieser Aufgabe ist eine Grafik mit einem Boxplot gegeben. Die Studierenden sollen einen Datensatz angeben, der zum gegebenen Boxplot passt.
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In dieser Aufgabe sollen die Studierenden eine empirische Verteilungsfunktion aus einem gegebenen Datensatz zeichnen, indem sie in einer Grafik Punkte platzieren.
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In dieser Aufgabe berechnen die Studierenden aus gegebenen Datenpunkten Schritt fĂŒr Schritt eine Regressionsgerade nach der Kleinste-Quadrate-Methode. Dazu fĂŒllen sie sukzessive eine Tabelle aus, berechnen die Spaltensummen und bestimmen schlieĂlich den Korrelationskoeffizienten sowie die Parameter der Regressiongeraden.
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In der ersten Teilaufgabe ist der Scatterplot eines Datensatzes gegeben und es soll zu einem \(x\)-Wert, zu dem kein Datenpunkt existiert, ein passender \(y\)-Wert geschĂ€tzt werden, sodass sich der resultierende Punkt plausibel in die Punktwolke einfĂŒgt. Im zweiten Aufgabenteil soll aus bereits gegebenen KenngröĂen eine Regressionsgerade nach der Kleinste-Quadrate-Methode bestimmt werden. In der dritten Teilaufgabe soll der zuvor geschĂ€tzte \(y\)-Wert mithilfe der Geradengleichung rechnerisch bestimmt werden.
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In dieser Aufgabe wird die jĂ€hrliche Anzahl der Verkehrstoten in der Stadt Bochum als Realisierung einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen modelliert. Aus Daten von 12 aufeinanderfolgenden Jahren soll der Maximum-Likelihood SchĂ€tzer sowie ein Konfidenzintervall fĂŒr den unbekannten Parameter der Poisson-Verteilung bestimmt werden. Die Studierenden werden schrittweise an die Berechnung des ML-SchĂ€tzers herangefĂŒhrt.
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Mitarbeiter:innen eines Lehrstuhls haben ein Stichprobe von Schokolinsenpackungen gewogen. Wir modellieren das Gewicht durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert und unbekannter Varianz. In dieser Aufgabe wird nach einem Konfidenzintervall fĂŒr den Erwartungswert und fĂŒr die Varianz gefragt. AuĂerdem wird eine VerstĂ€ndnisfrage zu Konfidenzintervallen im Allgemeinen gestellt.
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In dieser Aufgabe wird eine typische Fragestellung aus der QualitĂ€tskontrolle vorgestellt. Die Studierenden untersuchen in dieser Aufgabe das Verfahren mithilfe des Binomialtests. In den fĂŒnf Aufgabenteilen werden die Studierenden nach dem statistischen Modell, nach dem Fehler 1. Art, nach der Macht und dem
p -Wert gefragt. AuĂerdem sollen sie eine geeignete Hypothese und Alternative fĂŒr das vorgestellte Verfahren formulieren. -
Anhand einer IQ-Stichprobe soll den Studierenden ein möglicher Anwendungsfall fĂŒr den GauĂtest vorgestellt werden. In vier Aufgabenteilen leitet die Aufgabe durch die Vorgehensweise bei diesem Test.
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In dieser Aufgabe soll ein F-Test zum Vergleich von Varianzen von Fahrzeiten durchgefĂŒhrt werden. Es wurden in zwei verschiedenen Monaten im Jahr Fahrzeiten mit dem Rad fĂŒr eine Strecke von Wohnung zur UniversitĂ€t ermittelt. Den Studierenden werden die Kennzahlen Mittelwert und Stichprobenvarianz fĂŒr die zwei Stichproben prĂ€sentiert. Es soll die Hypothese, dass die beiden Varianzen gleich sind, gegen die Alternative, dass die Varianz in einem Monat gröĂer war, getestet werden.
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In dieser Aufgabe soll ein t-Test zum Vergleich von Erwartungswerten von Fahrzeiten durchgefĂŒhrt werden. Es wurden in zwei verschiedenen Monaten im Jahr Fahrzeiten mit dem Rad fĂŒr eine Strecke von Wohnung zur UniversitĂ€t ermittelt. Den Studierenden werden die Kennzahlen Mittelwert und Stichprobenvarianz fĂŒr die zwei Stichproben prĂ€sentiert. Es soll die Hypothese, dass die beiden Erwartungswerte gleich sind, gegen die Alternative, dass der Erwartungswert in einem Monat gröĂer war, getestet werden.
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Im Zentrum dieser Aufgabe steht eine Behauptung ĂŒber die Farbverteilung von Schokolinsen. Den Studierenden wird ein Datensatz von 180 Packungen prĂ€sentiert. Mithilfe des Chi-Quadrat-Tests sollen die Studierenden entscheiden, ob die Daten die behauptete Farbverteilung stĂŒtzen. Die Studierenden werden schrittweise durch dieses Vorhaben geleitet.
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Den Studierenden wird ein Datensatz eines WĂŒrfelexperiments prĂ€sentiert. Mithilfe eines geeigneten statistischen Tests und dieses Datensatzes sollen die Studierenden entscheiden, ob der WĂŒrfel fair ist. Die Studierenden werden schrittweise durch dieses Vorhaben geleitet.
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Professor D. hat den Energieverbrauch seines Hauses in AbhĂ€ngigkeit der AuĂentemperatur gemessen. Den Studierenden werden in dieser Aufgabe die arithmetischen Mittel, die empirischen Standardabweichungen sowie der Korrelationskoeffizient fĂŒr diesen Datensatz gegeben. Die Daten sollen nun mithilfe der linearen Regression untersucht werden. In sieben Aufgabenteilen sollen die Kleinste-Quadrate Regressionsgerade bestimmt werden, eine Vorhersage fĂŒr den Energieverbrauch gemacht werden, eine SchĂ€tzung fĂŒr die Varianz des Zufallsterms im Modell gegeben werden, 95%-Konfidenzintervalle fĂŒr die Steigung, den
y -Achsenabschnitt und die Varianz des Zufallsterms angegeben werden und die Hypothese, dass die AuĂentemperatur keinen Einfluss auf den Energieverbrauch hat, getestet werden.
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