Themenpaket Zentraler Grenzwertsatz und Normalapproximation
Abschnittsübersicht
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Als Dozent:in finden Sie hier zusätzliches Material zum Themenpaket "Zentraler Grenzwertsatz und Normalapproximation".
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Ausgehend von Beobachtungen beim Galtonbrett wird das Verhalten der Binomialverteilung für wachsendes \(n\) untersucht. Die Auswirkungen von Zentrierung und Standardisierung auf die Dichte und die Verteilungsfunktion werden grafisch dargestellt. Schließlich wird der zentrale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace mathematisch präzise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die Gültigkeit der Aussage auch ohne eine konkrete Verteilungsannahme wird diskutiert.
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Ein interaktives Galtonbrett illustriert den zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace, da sich annähernd eine Normalverteilung einstellt. Ein interaktives Kapteynbrett, eine multiplikative Version des Galtonbretts, ergibt stattdessen eine Annäherung an eine Log-Normalverteilung. In Arbeitsaufträgen sollen die Beobachtungen mathematisch modelliert und mit dem zentralen Grenzwertsatz erklärt werden.
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Für verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Normalverteilung interaktiv erkundet werden. Ebenso kann die Genauigkeit der Normalapproximation (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) anhand der Verteilungsfunktionen von standardisierter Binomialverteilung und Standardnormalverteilung erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenständige Erkundung der Grafiken an. Der zentrale Grenzwertsatz liefert eine mathematische Erklärung für die beobachteten Zusammenhänge.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschließend mit der Normalapproximation approximativ berechnen. Die Normalapproximation soll einmal mit und einmal ohne Stetigkeitskorrektur durchgeführt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine normalverteilte Zufallsvariable um ein Vielfaches der Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. Anschließend soll dieselbe Fragestellung für das arithmetische Mittel von normalverteilten Zufallsvariablen untersucht werden.
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Fluglinien verkaufen oft mehr Tickets für einen Flug, als es Plätze im Flugzeug gibt. Die Anzahl der zum Abflug erscheinenden Passagiere wird als Realisierung einer binomialverteilten Zufallsvariablen modelliert. In dieser Aufgabe soll mithilfe der Normalapproximation die Überbuchungswahrscheinlichkeit für einen Transatlantikflug berechnet werden.
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