Themenpaket Zentraler Grenzwertsatz und Normalapproximation
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Zentraler Grenzwertsatz und Normalapproximation".
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Ausgehend von Beobachtungen beim Galtonbrett wird das Verhalten der Binomialverteilung fĂŒr wachsendes \(n\) untersucht. Die Auswirkungen von Zentrierung und Standardisierung auf die Dichte und die Verteilungsfunktion werden grafisch dargestellt. SchlieĂlich wird der zentrale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace mathematisch prĂ€zise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die GĂŒltigkeit der Aussage auch ohne eine konkrete Verteilungsannahme wird diskutiert.
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Ein interaktives Galtonbrett illustriert den zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace, da sich annÀhernd eine Normalverteilung einstellt. Ein interaktives Kapteynbrett, eine multiplikative Version des Galtonbretts, ergibt stattdessen eine AnnÀherung an eine Log-Normalverteilung. In ArbeitsauftrÀgen sollen die Beobachtungen mathematisch modelliert und mit dem zentralen Grenzwertsatz erklÀrt werden.
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FĂŒr verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Normalverteilung interaktiv erkundet werden. Ebenso kann die Genauigkeit der Normalapproximation (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) anhand der Verteilungsfunktionen von standardisierter Binomialverteilung und Standardnormalverteilung erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafiken an. Der zentrale Grenzwertsatz liefert eine mathematische ErklĂ€rung fĂŒr die beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschlieĂend mit der Normalapproximation approximativ berechnen. Die Normalapproximation soll einmal mit und einmal ohne Stetigkeitskorrektur durchgefĂŒhrt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine normalverteilte Zufallsvariable um ein Vielfaches der Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht. AnschlieĂend soll dieselbe Fragestellung fĂŒr das arithmetische Mittel von normalverteilten Zufallsvariablen untersucht werden.
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Fluglinien verkaufen oft mehr Tickets fĂŒr einen Flug, als es PlĂ€tze im Flugzeug gibt. Die Anzahl der zum Abflug erscheinenden Passagiere wird als Realisierung einer binomialverteilten Zufallsvariablen modelliert. In dieser Aufgabe soll mithilfe der Normalapproximation die Ăberbuchungswahrscheinlichkeit fĂŒr einen Transatlantikflug berechnet werden.
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