Imprimir

Aufgaben mit Matrizen

Tabla de contenidos

1. Umgang mit Matrizen in Maxima [Editar]

1.1. Randomisierung von Matrizen

1.2. Rechenoperationen mit Matrizen

1.3. Maxima-Befehle zu Matrizen

1.4. Zugriff auf einzelne Zeilen, Spalten oder Einträge

2. Umgang mit Matrizen in STACK [Editar]

2.1. Eingabemethode "Matrix"

2.2. Eingabemethode "Algebraische Eingabe"

Wenn Sie Aufgaben erstellen möchten, bei denen mit Matrizen gerechnet wird oder  bei denen die Studierenden Matrizen als Lösungen angeben sollen, gibt es einige Besonderheiten zu beachten. 


Umgang mit Matrizen in Maxima [Editar]

Randomisierung von Matrizen

Beachten Sie dazu den separaten Artikel zur Randomisierung


Rechenoperationen mit Matrizen

  • M+N → Komponentenweise Addition zweier Matrizen: \(M+N\)
  • M*N → Komponentenweise Multiplikation zweier Matrizen \(M\) und \(N\)
  • M.N → Nicht-kommutative Multiplikation zweier Matrizen \(M\) und \(N\)
  • M^2 → Komponentenweises Quadrieren der Matrix \(M\)
  • M^^n → \(n\)-Fache nicht-kommutative Multiplikation der Matrix \(M\) mit sich selbst
  • M^^(-1) oder invert(M) → invertiert die Matrix \(M\) sofern dies möglich ist
  • a*M → Multipliziert die Zahl \(a\) mit jedem Eintrag der Matrix \(M\)

Maxima-Befehle zu Matrizen

  • charploy(M, x) → Bestimmt das charakteristische Polynom der Matrix \(M\) mit der Variable \(x\).
  • determinant(M) → Berechnet die Determinante der Matrix \(M\)
  • eigenvalues(M) → Ergibt als Ergebnis eine Liste, die wiederum zwei Listen enthält. Die erste Unterliste enthält die Eigenwerte der Matrix \(M\), die zweite Unterliste enthält die entsprechenden Vielfachheiten dieser.
  • eigenvectors(M) → Ergibt als Ergebnis eine Liste. Deren erstes Argument ist die Liste, die der Befehl eigenvalues(M) ausgibt. Die weiteren Einträge der Liste sind die Eigenvektoren der Matrix \(M\).
  • ident(n) → Erzeugt die \(n\times n\)-Einheitsmatrix
  • invert(M) → invertiert die Matrix \(M\), falls dies möglich ist
  • matrix([a,b],[c,d]) → Erzeugt eine Matrix mit Zeilenvektoren \((a,b)\) und \((c,d)\), in diesem Falle also die Matrix \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \)
  • transpose(M) → transponiert die Matrix \(M\)
Für nicht auf Matrizen bezogene Maxima-Befehle beachten Sie den separaten Artikel zu mathematischen Funktionen in STACK und CAS-Befehlen.


Zugriff auf einzelne Zeilen, Spalten oder Einträge

Im Folgenden betrachten wir als Beispiel die Matrix \(M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), die in Maxima als M: matrix([1,2],[3,4]); eingegeben wird.

  • M[i][j] oder M[i,j] → Gibt den Eintrag \(m_{ij}\) der Matrix zurück, also M[1][2] = \(m_{12}=2\)
  • M[i] → Gibt den \(i\)-ten Zeilenvektor zurück, also M[1] = [1,2]
  • col(M,i) → Gibt den \(i\)-ten Spaltenvektor zurück, also col(M,1) = [1,3]

Umgang mit Matrizen in STACK [Editar]

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Sie Ihre Studierenden Matrizen eingeben lassen können.

1. Bei der ersten Möglichkeit erscheint den Studierenden schon ein vorgefertigtes Matrix-Eingabefeld, in das die Studierenden nur noch die Koeffizienten der Matrix eingeben müssen. Dies hat den Vorteil, dass die Eingabe für die Studierenden sehr einfach ist. Allerdings sind die Dimensionen der Matrix dadurch schon vorgegeben, sodass die Studierenden sich diesen Schritt nicht selbst erarbeiten müssen. Für diese Methode wählt man den Eingabetyp "Matrix".

2. Bei der zweiten Möglichkeit erscheint den Studierenden ein algebraisches Eingabefeld, wie es standardmäßig bei dem Eingabetyp "Algebraische Eingabe" erscheint. In dieses Feld können die Studierenden dann die Matrix in der Form [ [1,2],[3,4] ]  eingeben. Dies hat den Vorteil, dass die Studierenden nun selber entscheiden müssen, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. Allerdings gibt es hier den Nachteil, dass die Eingabe für die Studierenden schwieriger und fehleranfälliger ist, als wenn bereits eine Matrix-Eingabefeld erscheint.



Eingabemethode "Matrix"

  • Ist die Antwort, die die Studierenden geben sollen, eine Matrix, kann im Reiter als Eingabemethode die Option "Matrix" ausgewählt werden


  • Ebenfalls im Reiter "Eingabe" muss dann im Feld "Musterlösung" unbedingt eine Matrix eingetragen sein, denn durch dieses Feld weiß das STACK-Tool, welche Dimensionen die Matrix im Eingabefeld haben soll.
  • Um zu beeinflussen, mit welcher Art von Klammern Matrizen in Ihrer STACK-Aufgabe angezeigt werden sollen, also z.B. so  \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \) oder so  \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \), kann der "Klammer-Typ" im Reiter Optionen im Feld Standard Form der Matrix-Klammern ausgewählt werden. 


Eingabemethode "Algebraische Eingabe"

  • Wie bereits im obigen Einleitungstext beschrieben, können Matrizen mithilfe von eckigen Klammern eingegeben werden, zum Beispiel die Matrix \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \) wie folgt: [ [1,2],[3,4] ]  
  • Wichtig! Wenn diese Art der Matrizeneingabe von STACK akzeptiert werden soll, dann muss auf die Matrix, die als  Musterlösung fungiert, der Befehl args() angewendet werden. Nur dann erkennt STACK die Eingabe als Matrix an!

Beispiel:



  • Um zu beeinflussen, mit welcher Art von Klammern Matrizen in Ihrer STACK-Aufgabe angezeigt werden sollen, also z.B. so  \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \) oder so  \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \), kann der "Klammer-Typ" im Reiter Optionen im Feld Standard Form der Matrix-Klammern ausgewählt werden.