Themenpaket Stetige Verteilungen
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Stetige Verteilungen".
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Am Beispiel der Verteilung des Gewichts von Schokolinsen wird der Begriff der stetigen Zufallsvariablen eingefĂŒhrt.
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In diesem Video wird eine EinfĂŒhrung zu Mengensystemen und WahrscheinlichkeitsrĂ€umen gegeben. Es wird motiviert, wieso die MaĂtheorie nötig ist, um realistische Probleme stochastisch zu modellieren. Elementare Objekte der Stochastik wie Zufallsvariablen, Mess- und WahrscheinlichkeitsrĂ€ume sowie Sigma-Algebren werden motiviert. Die Notwendigkeit der Konstruktion der Borel-Sigma-Algebra wird thematisiert und Anwendungsbeispiele vertiefen die Inhalte.
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Die Parameter der Normalverteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Die Parameter der Gumbel-Verteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Die Parameter der Weibull-Verteilung können interaktiv verĂ€ndert werden, um die Auswirkungen auf die Form der Dichtefunktion sowie den Erwartungswert und die Varianz zu erkunden. BeobachtungsauftrĂ€ge leiten die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. AusfĂŒhrliche Berechnungen von Erwartungswert und Varianz liefern eine mathematische ErklĂ€rung der beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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In dieser Aufgabe geht es um eine Funktion \(f\), die auf einem gegebenen Intervall die Funktionswerte einer unbekannten Funktion \(g\) und sonst den Wert \(0\) annimmt. Die Studierenden sollen ein Beispiel fĂŒr eine Funktion \(g\) angeben, sodass \(f\) die Eigenschaften einer Dichtefunktion erfĂŒllt.
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Bei einer Funktion sollen die Axiome einer Wahrscheinlichkeitsdichte, vor allem aber die Normierung, ĂŒberprĂŒft werden.
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In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es sich bei einer gegebenen Funktion um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt, und der Wert der Verteilungsfunktion an einer bestimmten Stelle soll berechnet werden.
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Es soll die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bestimmt werden, die durch Anwendung einer Funktion auf eine Zufallsvariable mit bekannter Verteilung entsteht.
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In der Aufgabe wird zufÀllig eine Dichtefunktion generiert, die eine Exponential-, Erlang- oder Chi-Quadrat-Verteilung beschreibt. Die Studierenden sollen Erwartungswert, zweites Moment und Varianz einer Zufallsvariablen mit dieser Dichtefunktion berechnen.
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Die Lebensdauer eines Fahrradschlauchs wird durch eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion modelliert. Es sollen die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einen gegebenen Wert ĂŒberschreitet, und der Erwartungswert berechnet werden.
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Eine Fahrradlampe setzt sich aus vier LEDs zusammen, deren Lebensdauer als unabhĂ€ngige, exponentialverteilte Zufallsvariable modelliert wird. Im ersten Aufgabenteil soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass die Lebensdauer einer einzelnen LED eine vorgegebene Grenze ĂŒberschreitet. Im zweiten Aufgabenteil wird die Lebensdauer der gesamten Fahrradlampe untersucht. Es soll hier ebenfalls eine Ăberschreitungswahrscheinlichkeit ausgerechnet werden.
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Der Wasserstand der Ruhr in Hattingen wird durch eine Zufallvariable mit stetiger Verteilung modelliert. Die Studierenden sollen die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Pegel ĂŒberschritten wird, mithilfe der Verteilungsfunktion bestimmen. In einem zweiten Aufgabenteil wird nach der Verteilungsfunktion einer Transformierten dieser Zufallsvariablen gefragt.
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Das Gewicht eines zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂŒsliriegels ist durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit gegebenem Erwartungswert und gegebener Varianz modelliert. Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass der MĂŒsliriegel ein vorgegebenes Gewicht unterschreitet.
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Das Gewicht eines zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂŒsliriegels ist durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit gegebenem Erwartungswert und gegebener Varianz modelliert. Die MĂŒsliriegel werden in 4er Packungen verkauft. Die Studierenden sollen den Erwartungswert und die Varianz des Gesamtgewichts einer solchen Packung berechnen. Im zweiten Aufgabenteil soll der Erwartungswert und die Varianz des arithmetischen Mittels der Riegel in einer Packung berechnet werden.
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