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Smith-Diagramm
InhaltsĂŒbersicht
1. Das Smith-Diagramm [Bearbeiten]
1.1. Analyse und Synthese von Netzwerken
1.1.1. Reihenschaltung von Impedanzen
1.1.2. Parallelschaltung von Impedanzen
1.1.3. Einfluss von Leitungen
1.2. Literatur
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Das Smith-Diagramm [Bearbeiten]
Das Smith-Diagramm (auch Leitungsdiagramm zweiter Art oder Smith-Chart genannt) ist ein graphisches Hilfsmittel zur Lösung von Mess- und Transformationsaufgaben auf dem Gebiet der Hochfrequenztechnik.
Bei dem Smith-Diagramm handelt es sich um die konforme Abbildung der Impedanzen passiver Zweitore in der Reflexionsfaktor-Ebene. Dieser Abbildung liegt der folgende Zusammenhang zugrunde:
$$ r=\displaystyle\frac{\underline{Z}-Z_{\rm L}}{\underline{Z}+Z_{\rm L}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\underline{Z}}{Z_{\rm L}}-1}{\displaystyle\frac{\underline{Z}}{Z_{\rm L}}+1}= \displaystyle\frac{\underline{z}-1}{\underline{z}+1} \qquad{\rm mit} \qquad \underline{z}=\displaystyle\frac{\underline{Z}}{Z_{\rm L}}\qquad (1)$$
Graphisch wird durch diesen Zusammenhang die positive Halbebene der z-Ebene, die alle passiven Impedanzen enthÀlt, in den Einheitskreis in der r-Ebene abgebildet, wie Abb. 1 zeigt.
Abb. 1: Abbildung aller passiven Impedanzen im Einheitskreis in der r-Ebene
Hierbei wird die reelle Achse der z-Ebene ( 0 †Re{<span style="text-decoration:underline;">z</span>} †â ) auf der reellen Achse innerhalb des Einheitskreises in der r-Ebene ( -1 †Re{<span style="text-decoration:underline;">r</span>} †+1) abgebildet. Somit sind alle Reflexionsfaktoren von reellen passiven Impedanzen, wie z. B. Kurzschluss ( Z = 0 $$ \rightarrow $$ r = -1), Anpassung ( Z = ZL $$ \rightarrow $$ r = 0 ) und Leerlauf ( Z $$ \rightarrow $$ â $$ \rightarrow $$ r = 1 ) auf der reellen Achse innerhalb des Einheitskreises zu finden.
Abb. 2: Abbildung der reellen Achse
Impedanzen mit konstantem Realteil stellen in der z-Ebene Parallelen zur imaginÀren Achse dar. Durch die konforme Abbildung werden diese Geraden in Kreise innerhalb des Einheitskreises in der r-Ebene transformiert, wie in Abb. 3 dargestellt ist.
Abb. 3: Abbildung von Impedanzen mit konstantem Realteil
Impedanzen mit konstantem ImaginÀrteil, also Parallelen zur reellen Achse in der z-Ebene, werden in der r-Ebene ebenfalls als Kreise abgebildet. Diese Kreise schneiden alle den Punkt r=1 und ihre Mittelpunkte befinden sich auf eine Achse parallel zur imaginÀren Achse durch den Punkt r=1.
Abb. 4: Abbildung von Impedanzen mit konstantem ImaginÀrteil
Das Smith-Diagramm ist also die graphische Darstellung der komplexen Reflexionsfaktoren von passiven Impedanzen, d. h. der Einheitskreis in der r-Ebene. Um die Arbeit mit dem Smith-Diagramm möglichst einfach zu gestalten, sind in dem Smith-Diagramm bereits Hilfslinien fĂŒr Impedanzen mit konstantem Real- oder ImaginĂ€rteil eingezeichnet. HĂ€ufig wird hier das "Black Magic Design" verwendet, das in Abb. 5 dargestellt ist.
Abb. 5: Smith-Diagramm im Black Magic Design (FĂŒr eine gröĂere Darstellung hier klicken)
Dieses Diagramm enthÀlt weitere Hilfsmittel, die bei der Bestimmung von Reflexionsfaktoren und bei der Analyse und Synthese von Netzwerken vorteilhaft. Auf diese weiteren Hilfsmittel und die Verwendung des Smith-Diagramms zur Analyse bzw. Synthese von Netzwerken wird im Folgenden detaillierter eingegangen.
Analyse und Synthese von Netzwerken
Das Smith-Diagramm wird hĂ€ufig fĂŒr den Entwurf von Anpassschaltungen sowie zur Analyse von Netzwerken oder zum Entwurf von Antennen eingesetzt. Ausgangspunkt hierfĂŒr ist meist ein Zweidraht-Ersatzschaltbild. Im Folgenden wird dargestellt, wie Impedanzen und Leitungen im Smithdiagramm dargestellt werden und wie Reflexionsfaktoren im Smith-Diagramm abgelesen werden. Weiterhin wird im Folgenden auf die Kennzeichnung komplexer Impedanzen, Admittanzen und Reflexionsfaktoren durch Unterstreichen verzichtet. Impedanzen, Admittanzen und Reflexionsfaktoren sind im Allgemeinen komplex mit Z=R+jX , Y= G+jB und r= Re {r}j+ jIm{r} anzunehmen.
Impedanz einzeichnen
Um den Reflexionsfaktor einer komplexen Impedanz im Smithchart einzuzeichnen, wird die Impedanz zunĂ€chst auf den Bezugswiderstand ZL normiert. AnschlieĂend wird im Smith-Diagramm der Schnittpunkt des entsprechenden Real- und ImaginĂ€rteils gesucht, der dem Reflexionsfaktor der Impedanz entspricht. Positive ImaginĂ€rteile, also Impedanzen mit induktivem Anteil sind in der oberen Halbebene des Smith-Diagramms zu finden (INDUKTIVE REACTANCE COMPONENT) und KapazitĂ€ten (CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT), also negative ImaginĂ€rteile in der unteren Halbebene. Als Beispiel wird hier die komplexe Impedanz Z1=(30+j70) Ω, also eine Serienschaltung aus einer InduktivitĂ€t und einem ohmschen Widerstand, mit einem Bezugswiderstand von ZL=50 Ω betrachtet. Abb. 6 ziegt das betrachtete Netzwerk mit der Eingangsimpedanz Z1 .
Abb. 6: Ersatzschaltbild fĂŒr Z1
1. Normierung:
$$ \displaystyle\frac{Z}{Z_{\rm L}}=\frac{30}{50}+j\,\frac{70}{50}=0.6+j1.4 $$
2. Einzeichnen: Schnittpunkt : Re $$ \rightarrow $$ 0.6 und Im $$ \rightarrow $$ 1.4
Abb. 7: Z1 im Smith-Diagramm
Reflexionsfaktor ablesen
Um den Reflexionsfaktor abzulesen, wird der Betrag |r| bestimmt, indem der Abstand der eingezeichneten Impedanz vom Ursprung ( Z=ZL ) bestimmt wird. Diese LĂ€nge wird dann auf der Skala "REFL. COEFF, E or I" unterhalb des Smith-Diagramms aufgetragen und dort der Wert fĂŒr |r| abgelesen. Der WinkelÂ Ï des Reflexionsfaktors wird bezogen auf die reelle Achse abgelesen und kann mit Hilfe der Winkelangaben an Rand des Smith-Diagramms bestimmt werden.
1. Betrag: LĂ€nge des Vektors auf Skala auftragen
$$ \rightarrow\qquad{\rm ablesen}\qquad \rightarrow $$ |r|= 0,685
2. Phase: Winkel zwischen Vektor und reeller Achse messen
$$ \rightarrow\quad \varphi=64,75^\circ $$
3. Reflexionsfaktor bestimmen:
$$ \underline{r}=|\underline{r}|\cdot e^{\displaystyle j\varphi}=0,685\cdot e^{\displaystyle j64,75^\circ} = 0,29+j\cdot 0,62 $$
Abb. 8: Ablesen des Reflexionsfaktors
Reihenschaltung von Impedanzen
Sind verschiedene Impedanzen in Reihe geschaltet, so kann die zugehörige Eingangsimpedanz durch Addition im Smith-Diagramm bestimmt werden. Im folgenden Beispiel wird zu der bereits vorhandenen Impedanz Z1 =(30+j70) Ω eine weitere Impedanz Z2=(40-j35) Ω in Reihe geschaltet. Die Bezugsimpedanz betrÀgt weiterhin ZL=50 Ω .Das zugehörige Ersatzschaltbild ist in Abb. 9 dargestellt.
Abb. 9: Ersatzschaltbild fĂŒr die Reihenschaltung Z1 + Z2
Der Punkt fĂŒr den Reflexionsfaktor von Z1 ist bereits im Smith-Diagramm eingezeichnet. Um nun die in Reihe geschaltete Impedanz zu addieren, muss diese zunĂ€chst auf den Bezugswiderstand ZL normiert werden. AnschlieĂend werden Real- und ImaginĂ€rteil der normierten Impedanz zu Z1 addiert. Der resultierende Punkt im Smith-Diagramm stellt den Reflexionsfaktor fĂŒr den Eingangswiderstand des Netzwerks, in diesem Fall Z1+Z2 dar.
1. Normierung von Z2 :
$$ \displaystyle\frac{Z_2}{Z_{\rm L}}=\frac{40}{50}-j\,\frac{35}{50}=0.8-j\,0.7 $$
2. Addition im Smitch-Diagramm: ImaginÀrteil -0.7 und Realteil +0.8
3. Eingangswiderstand ablesen:
$$ \displaystyle\frac{Z_{\rm E}}{Z_{\rm L}}=1.4+j\,0.7\,\,\rightarrow\,\,Z_{\rm E}=(70+j\,35)\,\Omega $$
Abb. 10: Reihenschaltung im Smith-Diagramm
Eine einfache Reihenschaltung von Impedanzen kann auch numerisch berechnet und anschlieĂend im Smith-Chart eingetragen werden, bei komplexeren Strukturen ist das Smith-Diagramm allerdings sehr hilfreich.
Parallelschaltung von Impedanzen
Um Parallelschaltungen von Impedanzen im Smith-Diagramm einzuzeichnen, mĂŒssen hier Admittanzen addiert werden:
$$ Z_1||Z_3=\displaystyle\frac{1}{Z_1}+\displaystyle\frac{1}{Z_3}=Y_1+Y_3 $$
Im dem folgenden Beispiel wird zu der bereits vorhandenen Impedanz Z1 eine Impedanz Z3 = (40-j20) Ω parallel geschaltet, wie in Abb. 11 dargestellt ist.
Abb. 11: Parallelschaltung von Z1 und Z3
Eine im Smithchart eingezeichnete Impedanz wird durch eine Spiegelung im Koordinatenursprung (r=0) in eine Admittanz umgewandelt. Dadurch werden die Halbebenen fĂŒr die ImaginĂ€rteile ebenfalls gespiegelt. Der ImaginĂ€rteil einer Admittanz mit induktivem Anteil ist daher in der unteren Halbebene zu finden (INDUKTIVE SUSCEPTANCE) und kapazitive Anteile erzeugen bei Admittanzen einen positiven ImaginĂ€rteil (CAPACITIVE SUSCEPTANCE). Abb. 12 zeigt diese Umwandlung fĂŒr die Impedanz Z1 .
Abb. 12: Spiegelung im Ursprung fĂŒhrt von der Impedanz zur Admittanz
Zu der nun im Smith-Diagramm gekennzeichneten Admittanz Y1 kann die Admittanz Y3 addiert werden, um die Eingangsadmittanz der Parallelschaltung zu bestimmen.
Um anschlieĂend die Eingangsimpedanz des Netzwerks zu bestimmen oder weitere in Reihe geschaltete Komponenten hinzu zu fĂŒgen, ist eine erneute Spiegelung im Ursprung notwendig. Dadurch wird die Admittanz wieder in eine Impedanz ĂŒberfĂŒhrt. Dementsprechend ergeben sich die folgenden Schritte:
1. Normierung von Y3:
$$ Y_3\cdot Z_{\rm L}=(0.02+j\,0.01)\,{\rm S}\cdot 50\,\Omega=1+j\,0.5 $$
2. Real- und ImaginÀrteil von Y3 im Smith-Diagramm zu Y1 addieren.
3. Resultierenden Punkt fĂŒr die Admittanz Y1+Y3 im Urpsrung spiegeln.
4. Eingangsimpedanz ZE = Z1 || Z3 der Parallelschaltung ablesen:
$$ \displaystyle\frac{Z_{\rm E}}{Z_{\rm L}}=0.8+j\,0.065\,\,\rightarrow\,\, Z_{\rm E}=(40+j\,3.25)\,\Omega $$
Abb. 13: Parallelschaltung im Smith-Diagramm
Einfluss von Leitungen
Der Einfluss von Leitungen auf ein Netzwerk und dessen Eingangswiderstand kann ebenfalls mit Hilfe des Smith-Diagramms bestimmt werden. Eine angepasste verlustfreie Leitung in einem Netzwerk (siehe Abb. 14) verursacht eine Phasendrehung des Reflexionsfaktors am Eingang.
Abb. 14: Angepasste, verlustfreie Leitung in einem Netzwerk
Eine LeitungslĂ€nge von l = λ/2 entspricht hierbei einer sogenannten Autotransformation, d. h. die Impedanz am Ende der Leitung und die Eingangsimpedanz und die entsprechenden Reflexionsfaktoren sind identisch. Diese Autotransformation entspricht im Smith-Diagramm einer Drehung um 360°. Eine weitere bekannte Transformation ist die Dualtransformation, bei der die LeitungslĂ€nge gerade einem Viertel der WellenlĂ€nge entspricht. Daher wird eine λ/4 lange Leitung auch als λ/4 - Transformator bezeichnet. Durch die Dualtransformation werden KurzschlĂŒsse in LeerlĂ€ufe transformiert und umgekehrt. Abb. 15 zeigt die Dualtransformation im Smith-Diagramm.
Abb. 15: Dualtransformation im Smith-Diagramm
Am Rand des Smith-Diagramms sind zwei Skalen vorhanden, die die Phasendrehung durch Leitungen darstellen. Die Skala "WAVELENGTH TOWARD GENERATOR" ist dazu geeignet, Abschlussimpedanzen mit einer Leitung in Richtung der Quelle zu transformieren. Die zweite Skala "WAVELENGTH TOWARD LOAD" dient zur Transformation eines Eingangswiderstandes an das Ende einer Leitung. Diese beiden Skalen enthalten die Bruchteile der LeitungslÀnge l bezogen auf die jeweilige WellenlÀnge λ im Wertebereich 0 †l/λ †0,5 , die der elektrischen LÀnge der Leitung entsprechen.
Das folgende Beispiel soll den Einfluss von angepassten verlustlosen Leitungen auf den Eingangswiderstand eines Netzwerks noch einmal verdeutlichen. Hier wird eine luftgefĂŒllte Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL und der mechanischen LĂ€nge l = 3 cm mit der Impedanz Z1 abgeschlossen. Dieses Netzwerk wird bei einer Frequenz 1,25 GHz betrachtet. Bei einer luftgefĂŒllten Leitung ( Δr=1 ) entspricht dies einer WellenlĂ€nge vonλ = 24 cm. Abb. 16 zeigt ein Ersatzschaltbild dieses Netzwerks.
Abb. 16: Angepasste, verlustlose Leitung abgeschlossen mit $$ Z_1 $$
Um die Phasendrehung durch die Leitung im Smith-Diagramm darzustellen, muss zunĂ€chst die LeitungslĂ€nge auf die jeweilige WellenlĂ€nge bezogen werden. Mit diesem Wert wird dann der Vektor des Reflexionsfaktors in der gewĂŒnschten Richtung (LOAD/GENERATOR) um den Ursprung gedreht. Daraus ergibt sich dann der entsprechende Ausgangs-/Eingangs-Reflexionsfaktor. Hierbei werden die folgenden Schritte durchgefĂŒhrt:
1. Bestimmung der LeitungslÀnge bezogen auf die WellenlÀnge:
$$ \displaystyle\frac{l}{\lambda}=\frac{3\,{\rm cm}}{24\,{\rm cm}}=0,125 $$
2. Drehrichtung bestimmen: Hier vom Ausgang zum Eingang, also " TOWARD GENERATOR"
3. Um den entsprechenden Wert drehen, hier λ/8, also um den Wert 0,125
4. Neue Impedanz ablesen: hier die Eingangsimpedanz
$$ \displaystyle\frac{Z_{\rm E}}{Z_{\rm L}}=2,3-j\,2,54\,\,\rightarrow\,\,Z_{\rm E}=(115-j\,127)\,\Omega $$
Diese Vorgehensweise ist in dem Smith-Diagramm in Abb. 17 dargestellt.
Abb. 17: Drehung durch Leitung im Smith-Diagramm
Literatur
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- O. Zinke, H. Brunswig, "Hochfrequenztechnik 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen" , Springer-Verlag. 1999 (www.springer.com)
- F. Gustrau, "Hochfrequenztechnik - Grundlagen der mobilen Kommunikationstechnik", Carl Hanser Verlag, 2011 (www.hanser-fachbuch.de)
- M. H. W. Hoffmann, "Hochfrequenztechnik: Ein systemtheoretischer Zugang", Springer- Verlag, 1997 (www.springer-vieweg.de)