5.2 Multiplikation von Matrizen
5.2 Multiplikation von Matrizen
Für Matrizen lässt sich eine Multiplikation definieren, die nicht wie die Addition komponentenweise definiert ist.
Wir beginnen mit dem etwas einfacheren Fall der Multiplikation einer Matrix mit einem (Spalten-)Vektor.
Multiplikation von Matrizen und Vektoren
Eine \(m\times n\)-Matrix kann man nur dann mit einem Spaltenvektor mutliplizieren, wenn der Vektor genau n Einträge (= Anzahl der Spalten der Matrix) hat und liefert einen Vektor mit m Einträgen. Dabei setzt man
\(\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+\ldots+a_{2n}x_n\\\vdots\\a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n\end{array}\right).\)
Wenn man sich an das Skalarprodukt aus Kapitel 2 erinnert, dann kann man diese Rechenvorschrift auch folgendermaßen auffassen:
Die m Einträge des Vektors \(A\vec{x}\) sind die Skalarprodukte der Zeilenvektoren von \(A\) mit dem Vektor \(\vec{x}\). Schematisch passiert also folgendes:
Hier finden Sie ein weiteres Beispiel (inklusive Kochrezepten).
Zwischenfrage:
\(E_n \vec{x}=\vec{x}\)
die Multiplikation mit der Einheitsmatrix ändert einen Vektor also nicht.
Die Matrixmultiplikation
Es ist nicht immer möglich, zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren. Es geht nur, wenn die Größen "zusammenpassen", genauer: Zwei Matrizen A und B lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt.
\(c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}.\)
Die Einträge der Produktmatrix AB kann man sich auch vorstellen als Skalarprodukte der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B, genauer: schreibt man
\(A=\left(\begin{array}{c}–a_1–\\–a_2–\\{\vdots}\\–a_m–\end{array}\right)\;\;\;\text{und}\;\;\;B=\left(\begin{array}{cccc}|&|&&|\\b_1&b_2&\ldots&b_n\\|&|&&|\end{array}\right)\)
als \(m\) untereinandergeschriebene Zeilenvektoren bzw. als \(n\) hintereinandergeschriebene Spaltenvektoren, dann ist im Produkt \(AB=(c_{ij})\) der Koeffizient \(c_{ij}=a_ i{\cdot }b_ j\) das Skalarprodukt der \(i\)-ten Zeile von \(A\) mit der \(j\)-ten Spalte von \(B\).
Noch etwas anschaulicher kann man sich dies mit dem folgenden graphischen Schema klarmachen:
Der Koeffizient \(c_{ij}\) von AB in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, steht in diesem Bild gerade dort, wo sich die Verlängerung der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B schneiden.
\(A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&2\\-2&0&5\end{array}\right)\;\;\text{und}\;\;B=\left(\begin{array}{rrrr}2&1&1&-1\\0&-1&2&3\\1&3&0&0\end{array}\right)\)
Dann ist \(AB=(c_{ij})\) eine Matrix mit zwei Zeilen und vier Spalten. Aus dem Schema\(\begin{array}{rrr|rrrr}&&&2&1&1&-1\\&&&0&-1&2&3\\&&&1&3&0&0\\\hline3&-1&2&c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}\\-2&0&5&c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\end{array}\)
ergibt sich\( \begin{align*} c_{11}&=3\cdot2+(-1)\cdot0+2\cdot1=8,&c_{21}&=(-2)\cdot2+0\cdot0+5\cdot1=1\\c_{12}&=3\cdot1+(-1)^2+2\cdot3=10,&c_{22}&=(-2)\cdot1+0\cdot(-1)+5\cdot3=13\\c_{13}&=3\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot0=1,&c_{23}&=(-2)\cdot1+0\cdot2+5\cdot0=-2\\c_{14}&=3\cdot(-1)+(-1)\cdot3+2\cdot0=-6,&c_{24}&=(-2)\cdot(-1)+0\cdot3+5\cdot0=2 \end{align*} \)
also\(AB=\left(\begin{array}{rrrr}8&10&1&-6\\1&13&-2&2\end{array}\right).\)
Probieren Sie es am besten selbst einmal mit der folgenden Aufgabe:
\(\begin{aligned} (AB)C& = A(BC),\\ (A+B)C& = AC+BC\;\;\;\text{und}\\ A(B+C)& = AB+AC \end{aligned}\)
für alle Matrizen, für die entsprechenden Produkte definiert sind.Die Matrizenmultiplikation ist jedoch nicht kommutativ, das heißt, im allgemeinen ist für zwei quadratische Matrizen \(A\) und \(B\)
\(AB\;\neq\;BA.\)
Nur mit der Einheitsmatrix \(E_ n\) oder einer Vielfachen der Einheitsmatrix \(cE_ n\) lässt sich jede quadratische Matrix \(A\) vertauschen:\((c E_n)A = A(c E_n) = cA.\)