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    • Material für Dozierende Dossier

      Als Dozent:in finden Sie hier zusätzliches Material zum Themenpaket "Diskrete Verteilungen".

    • Video: Der Poissonsche Grenzwertsatz und die Poisson-Approximation URL

      Anhand eines anschaulichen Beispiels wird das Konvergenzverhalten der Binomialverteilung gegen die Poisson-Verteilung motiviert. Der Poissonsche Grenzwertsatz wird mathematisch präzise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die Poisson-Approximation wird erklärt und mit einem Rechenbeispiel sowie grafisch illustriert.

    • Video: Elementare Momente URL

      Die Begriffe Erwartungswert und Varianz werden motiviert und die definierenden Formeln grafisch erklärt. Das Video behandelt dabei nur den diskreten Fall. Die Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz unter Verschiebung bzw. Skalierung der Zufallsvariablen werden sowohl grafisch visualisiert als auch rechnerisch hergeleitet.

    • Interaktive Anwendung: Die Poisson-Approximation Fichier

      Für verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Poisson-Verteilung interaktiv erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenständige Erkundung der Grafik an. Der Beweis des Poissonschen Grenzwertsatzes liefert eine mathematische Erklärung für die beobachteten Zusammenhänge.

    • Interaktive Anwendung: Minimalitätseigenschaft des Erwartungswerts Fichier

      Bei der Binomialverteilung wird in Abhängigkeit vom auf der horizontalen Achse eingestellten Wert \(a\) die gewichtete Summe der quadratischen Abweichungen von \(a\) als Maß für die Streuung visualisiert. Wird für \(a\) exakt der Erwartungswert eingestellt, wird die Streuung minimal. Dies motiviert die Definition der Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.

    • Interaktive Anwendung: Die geometrische Verteilung Fichier

      In dieser interaktiven Anwendung verändern die Studierenden den Parameter einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen und beobachten die resultierenden Veränderungen ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion, des Erwartungswerts und der Varianz.

    • Aufgabe: Wähler:innen einer Partei Test

      In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.

    • Aufgabe: Sterbewahrscheinlichkeit Test

      In dieser Aufgabe sollen zwei Wahrscheinlichkeiten berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer Zufallsvariablen angegeben werden. Die Aufgabe kann sowohl mit der Binomial- als auch mit der Poisson-Verteilung gelöst werden.

    • Aufgabe: Versicherungsvertreterin Test

      In dieser Aufgabe soll mithilfe der Poisson-Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden.

    • Aufgabe: Nachrichtenkanal Test

      In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.

    • Aufgabe: Verkehrstote (diskrete Zufallsvariablen) Test

      In dieser Aufgabe geht es um die Modellierung von Daten mit der Poisson-Verteilung. Dabei sind Schätzwerte für den Parameter der Verteilung, den Erwartungswert sowie die Varianz der Verteilung und für eine Wahrscheinlichkeit gesucht.

    • Aufgabe: Verkehrstote (Daten selbst recherchieren) Test

      Diese Aufgabe ist ähnlich der Aufgabe "Verkehrstote (diskrete Zufallsvariablen)". Die Besonderheit ist hier, dass die Studierenden zu Beginn der Aufgabe selbst Daten recherchieren sollen.

    • Aufgabe: Brettspiel Test

      In dieser Aufgabe soll mithilfe der geometrischen Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen angegeben werden.

    • Aufgabe: Gemeinsame Verteilungen Test

      In dieser Aufgabe geht es um zwei diskrete Zufallsvariablen \(X, Y\) und ihre gemeinsame Verteilung. Nacheinander sollen die marginalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X+Y\), der Erwartungswert sowie die Varianz beider Zufallsvariablen, ihre Kovarianz und ihr Korrelationskoeffizient angegeben werden. Zuletzt soll entschieden werden, ob die Zufallsvariablen unabhängig sind.

    • Aufgabe: Würfel konstruieren Test

      In dieser Aufgabe geht es um einen unfairen Würfel. Zunächst sollen die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zahlen 1 bis 6 gewürfelt werden, so bestimmt werden, dass der Würfel bestimmte Eigenschaften erfüllt. Anschließend soll durch das Durchführen eines Zufallsexperiments ein Schätzwert empirisch ermittelt werden.

    • Aufgabe: Poisson-Approximation Test

      In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschließend mit der Poisson-Approximation approximativ berechnen. Außerdem wird die Größenordnung des Approximationsfehlers abgefragt. Nachdem die Aufgabe richtig gelöst wurde, können die Studierenden mit einer interaktiven Anwendung erkunden, wie sich der Approximationsfehler ändert, wenn die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung verändert werden.

    • Aufgabe: Chebychev-Ungleichung Test

      In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit mithilfe der Chebychev-Ungleichung nach unten abschätzen. Zuerst identifizieren sie die Binomialverteilung als korrekte Modellierung des Sachkontextes und berechnen deren Erwartungswert und Varianz. Anschließend formen Sie das Ereignis auf die Form der Chebychev-Ungleichung um und wenden diese zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit an.

    • Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsmaß ganze Zahlen Test

      Die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen sollen bei Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse bestimmt werden.

    • Aufgabe: Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen Test

      In dieser Aufgabe sind zwei unabhängige, diskrete Zufallsvariablen gegeben. Nachdem die Studierenden die gemeinsame Verteilung dieser Zufallsvariablen bestimmt haben, wird nach der Verteilung der Summe und nach der Verteilung des Maximums gefragt. Im letzten Aufgabenteil soll der Korrelationskoeffizient angegeben werden.