Themenpaket Diskrete Verteilungen
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Als Dozent:in finden Sie hier zusÀtzliches Material zum Themenpaket "Diskrete Verteilungen".
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Anhand eines anschaulichen Beispiels wird das Konvergenzverhalten der Binomialverteilung gegen die Poisson-Verteilung motiviert. Der Poissonsche Grenzwertsatz wird mathematisch prÀzise formuliert, jedoch nicht bewiesen. Die Poisson-Approximation wird erklÀrt und mit einem Rechenbeispiel sowie grafisch illustriert.
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Die Begriffe Erwartungswert und Varianz werden motiviert und die definierenden Formeln grafisch erklĂ€rt. Das Video behandelt dabei nur den diskreten Fall. Die Rechenregeln fĂŒr Erwartungswert und Varianz unter Verschiebung bzw. Skalierung der Zufallsvariablen werden sowohl grafisch visualisiert als auch rechnerisch hergeleitet.
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FĂŒr verschiedene Kombinationen ihrer Parameter kann der Unterschied zwischen den Dichten von Binomial- und Poisson-Verteilung interaktiv erkundet werden. Ein Beobachtungsauftrag leitet die eigenstĂ€ndige Erkundung der Grafik an. Der Beweis des Poissonschen Grenzwertsatzes liefert eine mathematische ErklĂ€rung fĂŒr die beobachteten ZusammenhĂ€nge.
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Bei der Binomialverteilung wird in AbhĂ€ngigkeit vom auf der horizontalen Achse eingestellten Wert \(a\) die gewichtete Summe der quadratischen Abweichungen von \(a\) als MaĂ fĂŒr die Streuung visualisiert. Wird fĂŒr \(a\) exakt der Erwartungswert eingestellt, wird die Streuung minimal. Dies motiviert die Definition der Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
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In dieser interaktiven Anwendung verÀndern die Studierenden den Parameter einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen und beobachten die resultierenden VerÀnderungen ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktion, des Erwartungswerts und der Varianz.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe sollen zwei Wahrscheinlichkeiten berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer Zufallsvariablen angegeben werden. Die Aufgabe kann sowohl mit der Binomial- als auch mit der Poisson-Verteilung gelöst werden.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Poisson-Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe geht es um die Modellierung von Daten mit der Poisson-Verteilung. Dabei sind SchĂ€tzwerte fĂŒr den Parameter der Verteilung, den Erwartungswert sowie die Varianz der Verteilung und fĂŒr eine Wahrscheinlichkeit gesucht.
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Diese Aufgabe ist Àhnlich der Aufgabe "Verkehrstote (diskrete Zufallsvariablen)". Die Besonderheit ist hier, dass die Studierenden zu Beginn der Aufgabe selbst Daten recherchieren sollen.
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In dieser Aufgabe soll mithilfe der geometrischen Verteilung eine Wahrscheinlichkeit berechnet und der Erwartungswert sowie die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen angegeben werden.
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In dieser Aufgabe geht es um zwei diskrete Zufallsvariablen \(X, Y\) und ihre gemeinsame Verteilung. Nacheinander sollen die marginalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X+Y\), der Erwartungswert sowie die Varianz beider Zufallsvariablen, ihre Kovarianz und ihr Korrelationskoeffizient angegeben werden. Zuletzt soll entschieden werden, ob die Zufallsvariablen unabhÀngig sind.
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In dieser Aufgabe geht es um einen unfairen WĂŒrfel. ZunĂ€chst sollen die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zahlen 1 bis 6 gewĂŒrfelt werden, so bestimmt werden, dass der WĂŒrfel bestimmte Eigenschaften erfĂŒllt. AnschlieĂend soll durch das DurchfĂŒhren eines Zufallsexperiments ein SchĂ€tzwert empirisch ermittelt werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit zuerst exakt berechnen und anschlieĂend mit der Poisson-Approximation approximativ berechnen. AuĂerdem wird die GröĂenordnung des Approximationsfehlers abgefragt. Nachdem die Aufgabe richtig gelöst wurde, können die Studierenden mit einer interaktiven Anwendung erkunden, wie sich der Approximationsfehler Ă€ndert, wenn die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung verĂ€ndert werden.
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In der Aufgabe sollen die Studierenden eine Binomial-Wahrscheinlichkeit mithilfe der Chebychev-Ungleichung nach unten abschĂ€tzen. Zuerst identifizieren sie die Binomialverteilung als korrekte Modellierung des Sachkontextes und berechnen deren Erwartungswert und Varianz. AnschlieĂend formen Sie das Ereignis auf die Form der Chebychev-Ungleichung um und wenden diese zur AbschĂ€tzung der Wahrscheinlichkeit an.
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Die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen sollen bei Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse bestimmt werden.
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In dieser Aufgabe sind zwei unabhÀngige, diskrete Zufallsvariablen gegeben. Nachdem die Studierenden die gemeinsame Verteilung dieser Zufallsvariablen bestimmt haben, wird nach der Verteilung der Summe und nach der Verteilung des Maximums gefragt. Im letzten Aufgabenteil soll der Korrelationskoeffizient angegeben werden.
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