Einschub nach 12.3

Die Funktion \(f\colon( 0,\infty )\rightarrow ( 0,\infty )\) mit \(f( x):=x^ a:=e^{a\ln {x}}\), \(a\in \mathbb {R}\) lässt sich mit Hilfe der Kettenregel differenzieren, denn es ist \(f:=g\circ h\circ k\), wobei

\(k(x):=\ln{x},\;\;h( y):=ay\;\;\textrm{und}\;\;g(z):=e^z.\)

Daher ist

\(\begin{array}{rcl}f’(x)&=&g’((h\circ\,k)( x))h’(k( x))k’(x)\\&&\\&=&g((h\circ k)(x))\displaystyle\frac{a}{x}=x^a\displaystyle\frac{a}{x}\\&&\\\Rightarrow\,f’(x)&=&ax^{a-1}\end{array}\)

Die aus der Schule bekannte Regel "Schreibe den Exponenten vor den Term und vermindere den Exponenten dann um Eins" gilt also für beliebige reelle Exponenten.

Die Ableitung \(\tan ’( x)\) der Tangensfunktion erhält man aus der Quotientenregel

\(\begin{array}{rcl}\tan’(x)&=&\left(\displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)’=\displaystyle\frac{\sin’(x)\cos(x)-\sin(x)\cos’(x)}{\cos^2(x)}\\&&\\&=&\displaystyle\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\\&&\\&=&\displaystyle\frac{1}{\cos^2(x)}\\&=&1+\tan^2(x)\end{array}\)

Durch Differenzieren der Gleichung \(\tan (\arctan {y})=y\) mit der Kettenregel bestimmt man die Ableitung der Arcustangens­funktion:

\(\begin{array}{rcl}\tan’(\arctan( y))\arctan’( y)&=&1\\&&\\\Leftrightarrow\;\left(1+\tan^2(\arctan( y))\right)\arctan’( y)&=&1\\&&\\\Rightarrow\;(1+y^2)\arctan’( y)&=&1\\&&\\\Leftrightarrow\arctan’( y)&=&\displaystyle\frac{1}{1+y^2}\end{array}\)

Diese Ableitung ist vor allem wichtig, weil man umgekehrt später die Stammfunktion von \(\displaystyle\frac {1}{1+y^2}\) benötigt.