11.7 Die Hyperbelfunktionen
11.7 Die Hyperbelfunktionen
\(
\begin{array}{rcl}\cosh( x)&:=&\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ &&\\ \sinh( x)&:=&\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&&\\ \tanh( x)&:=&\displaystyle\frac{\sinh(x)}{\cosh( x)}=\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=1-\displaystyle\frac{2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\end{array}
\)
Viele Identitäten der Hyperbelfunktionen erinnern an die Eigenschaften von Sinus und Cosinus:
\(\begin{array}{rcl} \cosh( x+y)&=&\cosh( x)\cdot\cosh( y)+\sinh( x)\cdot\sinh( y)\\ &&\\\sinh( x+y)&=&\sinh( x)\cdot\cosh( y)+\cosh( x)\cdot\sinh( y)\\ &&\\\cosh^2( x)-\sinh^2( x)&=&1\end{array}\)
Herleitung: Direkt aus der Definition erhält man
\( \begin{array}{rcl}\cosh ( x)\cdot \cosh ( y)+ \sinh ( x) \cdot \sinh ( y) & =&\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\&&\\&=&\displaystyle\frac{2e^xe^y+2e^{-x}e^{-y}}{4}\\&=&\cosh (x+y)\end{array}\)
und
\( \begin{array}{rcl}\sinh ( x)\cdot\cosh( y)+\cosh( x)\cdot\sinh( y)&=&\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\&&\\&=&\displaystyle\frac{2e^xe^y-2e^{-x}e^{-y}}{4}\\&=&\sinh( x+y)\end{array} \)
und
\( \begin{array}{rcl}\cosh^2( x)-\sinh^2( x)&=&\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&&\\&=&\displaystyle\frac{2e^xe^{-x}+2e^{x}e^{-x}}{4}=1.\end{array} \)
Allerdings sehen die Schaubilder der Hyperbelfunktionen anders aus als diejenigen der trigonometrischen Funktionen:
![Kettenlinie](https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/pluginfile.php/55086/mod_page/content/9/kettenlinie.png)
Hier ist wieder ein Kapitel zu Ende und Sie haben die Wahl: