11.7 Hyperbelfunktionen (Fortsetzung)
11.7 Hyperbelfunktionen (Fortsetzung)
Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen.
Die monotone Funktion $$f(x)=\sinh (x)$$ besitzt eine ebenfalls monotone Umkehrfunktion, die Areasinus hyperbolicus $$\mathrm{Arsinh}\,(x)$$ heißt. Es ist also
| $$y=\mathrm{Arsinh}\, ( x)\;\;\Longleftrightarrow \;\; \sinh ( y) = x$$ |
Wegen der Definition des Sinus hyperbolicus über die Exponentialfunktion kann man die letzte Gleichung auch umschreiben als
| $$\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}=x$$ |
Durch Multiplikation mit $$e^ y$$ führt dies auf
| $$\dfrac{e^{2y}-1}{2}=xe^y$$ |
und nach der Substitution $$e^ y=t>0$$ erhält man eine quadratische Gleichung
| $$t^2-1=2tx$$ |
deren Lösung man in Abhängigkeit von $$x$$ bestimmen kann als
| $$t=\dfrac{-2x\pm{\sqrt{4x^2+4}}}{2}=-x\pm\sqrt{x^2+1}$$ |
Da nur die Lösung mit $$+$$ positiv ist, muss $$e^ y=\sqrt {x^2+1}-x$$ sein, beziehungsweise
| $$y=\mathrm{Arsinh}\,(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right).$$ |
Da der Cosinus hyperbolicus keine auf ganz $$\mathbb{R}$$ monotone Funktion ist, benutzt man für die Umkehrfunktion nur das Intervall $$[0,\infty )$$, wo $$\cosh (x)$$ streng monoton wachsend ist und erhält als Umkehrfunktion $$\mathrm{Arcosh}\, :[1,\infty )\to [0,\infty )$$ eine Funktion, die sich mit einer Rechnung wie oben auch als
| $$\mathrm{Arcosh}\,(x)=\ln\left( x+\sqrt{x^2-1}\right)$$ |
schreiben lässt.
Der Tangens hyperbolicus ist wieder auf ganz $$\mathbb{R}$$ streng monoton wachsend, besitzt also eine ebenfalls streng monoton wachsende Umkehrfunktion, die (natürlich) Areatangens hyperbolicus heißt mit $$\mathrm{Artanh}\colon (-1,1)\to\mathbb{R}$$. Ähnlich wie oben kann man auch die Gleichung $$y=\mathrm{Artanh}( x)$$ für -1<y<1 umformen zu
| $$\mathrm{Artanh}\, ( x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$$ |