11.7 Hyperbelfunktionen (Fortsetzung)
11.7 Hyperbelfunktionen (Fortsetzung)
Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen.
Die monotone Funktion \(f(x)=\sinh (x)\) besitzt eine ebenfalls monotone Umkehrfunktion, die Areasinus hyperbolicus \(\mathrm{Arsinh}\,(x)\) heißt. Es ist also
\(y=\mathrm{Arsinh}\, ( x)\;\;\Longleftrightarrow \;\; \sinh ( y) = x\)
Wegen der Definition des Sinus hyperbolicus über die Exponentialfunktion kann man die letzte Gleichung auch umschreiben als
\(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}=x\)
Durch Multiplikation mit \(e^ y\) führt dies auf
\(\dfrac{e^{2y}-1}{2}=xe^y\)
und nach der Substitution \(e^ y=t>0\) erhält man eine quadratische Gleichung
\(t^2-1=2tx, \)
deren Lösung man in Abhängigkeit von \(x\) mit Hilfe der p-q-Formel bestimmen kann als
\(t=\dfrac{-2x\pm{\sqrt{4x^2+4}}}{2}=-x\pm\sqrt{x^2+1}\)
Da nur die Lösung mit + positiv ist, muss \(e^ y=\sqrt {x^2+1}-x\) sein, beziehungsweise
\(y=\mathrm{Arsinh}\,(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right).\)
Da der Cosinus hyperbolicus keine auf ganz \(\mathbb{R}\) monotone Funktion ist, benutzt man für die Umkehrfunktion nur das Intervall \([0,\infty )\), auf dem \(\cosh (x)\) streng monoton wachsend ist und erhält als Umkehrfunktion \(\mathrm{Arcosh}\, :[1,\infty )\to [0,\infty )\) eine Funktion, die sich mit einer Rechnung wie oben auch als
\(\mathrm{Arcosh}\,(x)=\ln\left( x+\sqrt{x^2-1}\right)\)
schreiben lässt.
Der Tangens hyperbolicus ist wieder auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend, besitzt also eine ebenfalls streng monoton wachsende Umkehrfunktion, die (natürlich) Areatangens hyperbolicus heißt mit \(\mathrm{Artanh}\colon (-1,1)\to\mathbb{R}\). Ähnlich wie oben kann man auch die Gleichung \(y=\mathrm{Artanh}( x)\) für \(-1<y<1\) umformen zu
\(\mathrm{Artanh}\, ( x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\,.\)