11.6 Die komplexe Exponentialfunktion
11.6 Die komplexe Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion lässt sich auch für komplexe Exponenten definieren. Zunächst betrachten wir dabei nur rein imaginäre Exponenten.
\(e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\)
Da auch für komplexe Exponenten weiter die bekannten Rechenregeln gelten sollen, ist
\(e^{a+ib}=e^a\cdot e^{ib}=e^a\left(\cos(b)+i\sin(b)\right).\)
Besonders wichtig sind die speziellen Werte der Eulerschen Formel
\(e^{i\pi}=-1\;\;\;\), \(\;\;e^{2\pi i}=1 \;\;\;\) und \(\;\;\;\;~e^{i\frac{\pi}{2}}=i.\)
Die konjugiert-komplexe Zahl zu \(e^{i\varphi }\) ist
\(\overline{e^{i\varphi}}=\overline{\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)}=\cos(\varphi)-i\sin(\varphi)=\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)=e^{-i\varphi}\)
Der Betrag einer komplexen Zahl \(e^{i\varphi }\) ist
\(\left|e^{i\varphi}\right|^2=e^{i\varphi}\cdot\overline{e^{i\varphi}}=e^{i\varphi}\cdot e^{-i\varphi}=e^{i\varphi-i\varphi}=e^{0}=1\)
Die Zahlen \(e^{i\varphi }\) mit \(\varphi \in \mathbb {R}\) liegen also alle auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene. Der Winkel \(\varphi \) gibt dabei den Winkel zwischen der reellen Achse und der Verbindung vom Ursprung zur Zahl \(e^{i\varphi }\) an.
Die Eulersche Formel liefert uns auch einen (neuen) rein rechnerischen Beweis der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus.
Einerseits ist
\(e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta).\)
Andererseits ist aber auch durch Anwendung der Potenzgesetze und Ausmultiplizieren
\(\begin{array}{rcl}e^{i(\alpha+\beta)}&=&e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\\&=&(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))(\cos(\beta)+i\sin(\beta))\\&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)+i(\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta))\end{array}\)
Vergleicht man nun die Realteile beider Darstellungen, dann erhält man das Additionstheorem
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\)
für den Cosinus.
Genauso ergibt sich das Additionstheorem für den Sinus aus dem Vergleich der Imaginärteile.