11.6 Komplexe Exponentialfunktion (Fortsetzung)

Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen

Man kann auch komplexe Zahlen mit Betrag \(\neq 1\) mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion darstellen.

Definition (Polardarstellung):

Jede komplexe Zahl \(z=x+iy\) kann man in der Form

\(z=re^{i\varphi}\)


mit \(r=|z|=\sqrt {z\bar{z}}=\sqrt {x^2+y^2}\) und einem Winkel \(\varphi \in [0,2\pi )\) darstellen.

Den Winkel \(\varphi\) nennt man Argument.


Für die Umrechnung von der kartesischen Darstellung \(z=x+iy\) in die Polarkoordinatendarstellung geht man wie folgt vor: Es ist \(x=r\cos (\varphi )\) und \(y=r \sin (\varphi )\). Daraus folgt:

\(\begin{array}{rcl}r^2&=&r^2(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))=x^2+y^2\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\\\ & & \\ \tan(\varphi)&=&{\displaystyle\frac{r\sin(\varphi)}{r\cos(\varphi)}}={\displaystyle\frac{y}{x}}\end{array}\)


Hierbei ist es wichtig, dass man daraus nicht einfach

\(\varphi=\arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)\)


schließen darf, denn dieser Zusammenhang gilt nur, wenn \(x+iy\) im ersten Quadranten (\(x,y>0\)) liegt. Im 2. und 3. Quadranten gilt dagegen

\(\varphi=\pi+\arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)\)

und im 4. Quadranten

\(\varphi=2\pi+\arctan\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)\)


Tipp!
Wer diese Fallunterscheidung nicht auswendig lernen möchte, kann auch zuerst \(\arctan (\frac{y}{x})\) berechnen und sich dann überlegen, welches Vielfache von \(\pi \) man gegebenenfalls addieren muss, damit der Winkel \(\varphi \) im richtigen Intervall liegt.

Beispiele:
  1. \(\;\;\;1+i = \sqrt {2} e^{\frac{\pi }{4}i}\), denn \(\arctan(\frac{1}{1})=\frac{\pi}{4}\) und dieser Winkel gehört zum ersten Quadranten genau wie \(1+i\).

  2. \(\;\;\;\displaystyle\frac {1}{2}+\displaystyle\frac {\sqrt {3}}{2}i = 1\cdot e^{\frac{\pi }{3}i} \)

Ein großer Vorteil der Polarkoordinatendarstellung besteht darin, dass sich dort zwei komplexe Zahlen besonders leicht multiplizieren:

\(\left(r_1\cdot e^{i\varphi_1}\right)\cdot\left(r_2\cdot e^{i\varphi_2}\right)=r_1r_2e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}\)


In Worten: Komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung werden multipliziert, indem man

  • die Beträge miteinander multipliziert und

  • die Argumente addiert

 

Beispiel:

\( \begin{array}{rcl}
1+i & = & \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \\ & & \\ \Rightarrow (1+i)^2 & = & \sqrt{2}^2 e^{2i\frac{\pi}{4}}=2i\\ & & \\ \text{ und } \;\; (1+i)^8 & = & ((1+i)^2)^4 =(2i)^4 = 2^4\cdot i^4 = 16\,. \end{array} \)

Geometrisch entspricht die Multiplikation mit \(i\) einer Drehung um \(\displaystyle\frac {\pi }{2}\) gegen den Uhrzeigersinn, denn die Multiplikation mit \(i\) ist ja gerade die Multiplikation mit \(1{\cdot }e^{i\frac{\pi }{2}}\). Aus der komplexen Zahl \(z=r\, e^{i\varphi }\) wird dann die Zahl \(re^{i(\varphi +\displaystyle\frac {\pi }{2})}\) Diese hat denselben Betrag, aber ein um \(\displaystyle\frac {\pi }{2}\) größeres Argument, was genau einer Drehung um \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) entspricht.

Komplexe Mulitplikation mit i

Analog kann man auch die Multiplikation mit der Zahl \(-1+i\) geometrisch betrachten

Die Multiplikation mit \(-1+i\) ist in Polardarstellung die Multiplikation mit \(\sqrt {2} e^{i\frac {5\pi }{4}}\). Aus \(z=re^{i\varphi }\) wird \(\sqrt {2} re^{i(\varphi +\frac {5\pi }{4})}\), der Betrag wird mit dem Faktor \(\sqrt {2}\) multipliziert, das Argument um \(\displaystyle\frac {5\pi }{4}\) alias \(225^{\circ}\) vergrößert. Geometrisch führt das zu einer Drehstreckung kombiniert aus einer Drehung um \(\displaystyle\frac {5\pi }{4}\) gegen den Uhrzeigersinn und einer Streckung mit Dehnungsfaktor \(\sqrt {2}\).

Figures/kompl_mult2

    

Die de Moivresche Formel

Schreibt man die Identität

\(\left(e^{ix}\right)^n=e^{i(nx)}\)


mit Hilfe der Eulerschen Formel um erhält man die De Moivresche Formel

\((\cos( x)+i\sin( x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\)


Bemerkung :
Für eine komplexe Zahl \(z=r(\cos (\varphi )+i\, \sin (\varphi )\) und \(n=1,2,3,\dots \) ist also

\(z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\,\sin(n\varphi)\,.\)


Beispiel (Dreifachwinkelsatz):

Speziell für \(n=3\) erhält man mit Hilfe des Binomischen Satzes

\(\begin{array}{rcl} &&\cos(3x)+i\sin(3x)\\&=&(\cos(x)+i\sin(x))^3\\ &=&\cos^3(x)+3\cos^2(x)\cdot\,i\sin(x)+3\cos(x)\cdot\,i^2\sin^2(x)+i^3\sin^3(x)\\ &=&\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)+i\left(3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)\right)\,.\end{array}\)


Spaltet man die Terme in Real und Imaginärteil auf, ergeben sich daraus die Additionstheorem für den dreifachen Winkel:

\(\begin{array}{rcl}\cos(3x)&=&\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)=\cos^3(x)-3\cos(x)(1-\cos^2(x))\\&=&4\cos^3(x)-3\cos(x)\\\sin(3x)&=&3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)\\&=&3\sin(x)-4\sin^3(x)\,.\end{array}\)


   

Komplexe Einheitswurzeln

Eine Aufgabe, die sich ebenfalls sehr gut mit der Polardarstellung komplexer Zahlen lösen lässt, ist die Suche nach allen komplexen Lösungen der Gleichung \(z^n =1\).

Für \(z=r\, e^{i\varphi }\) ist

\(z^n=r^ne^{in\varphi}=1=1\cdot\,e^{i\cdot 0}=1\cdot e^{2\pi\,i}=1\cdot\,e^{4\pi\,i}=1\cdot\,e^{6\pi\,i}=\ldots\)


Betrachtet man nur den Betrag \(|z^ n|=|r^ n e^{in\varphi }|=|r^ n|\cdot |e^{in\varphi }|\), so erkennt man, dass \(r^ n=1\) sein muss, also \(r=1\).

Außerdem muss eine der Gleichungen

\(n\varphi=0\) oder \(n\varphi=2\pi\) oder \(n\varphi=4\pi\) oder \(n\varphi=6\pi\dots\)

erfüllt sein. Diese führen auf verschiedene Winkel \(\varphi =e^{2\frac{\pi }{n}i},e^{4\frac{\pi}{n}i},e^{6\frac{\pi}{n}i},\dots\), von denen aber nur \(n\) wirklich verschieden sind. Daher gilt

Satz (Einheitswurzeln):
Die Gleichung \(z^n = 1\) besitzt genau \(n\) komplexe Lösungen

\(\begin{array}{rcl}z_1&=&1,\\z_2&=&e^{2\displaystyle\frac{\pi}{n}i},\\z_3&=&e^{4\displaystyle\frac{\pi}{n}i},\\z_4&=&e^{6\displaystyle\frac{\pi}{n}i},\\\vdots&&\vdots\\z_n&=&e^{2(n-1)\displaystyle\frac{\pi}{n}i}\,.\end{array}\)


Diese heißen \(n\)-te Einheitswurzeln.


Die \(n\)-ten Einheitswurzeln haben auch eine geometrische Interpretation. Die Gleichung

\(z^3=1\)

hat drei Lösungen:

\(z_1=1,\;\;z_2=e^{\frac{2\pi}{3}i},\;\;z_3=e^{\frac{4\pi}{3}i}\)

die auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks liegen.

einheitswurzeln

Auf ähnliche Weise kann man zu einer gegebenen komplexen Zahl \(w\) auch alle komplexen Lösungen der Gleichung \(z^n = w\) konstruieren. Dazu schreibt man \(w=\varrho e^{i\alpha }\) in Polardarstellung genau wie die gesuchte Zahl \(z=re^{i\varphi }\). Dann ist

\(z^n=r^ne^{in\varphi}=w=\varrho e^{i\alpha}=\varrho e^{i(\alpha+2\pi)}=\varrho e^{i(\alpha+4\pi)}=\ldots\)

Wie oben vergleicht man zunächst die Beträge und erhält \(r^n =\varrho\), also \(r=\sqrt [n]{\varrho }\). Der Vergleich der Winkel ergibt sie Möglichkeiten \(n\varphi =\alpha \) oder \(n\varphi =\alpha +2\pi\) oder \(n\varphi =\alpha +4\pi \) ... Auch hier sind nur \(n\) echt verschiedene Winkel dabei, die übrigen unterscheiden sich von diesen nur um Vielfache von \(2\pi \).

Die Gleichung \(\mathbf{z^ n = w} \quad\) mit \(w=\varrho e^{i\alpha }\) besitzt genau \(n\) komplexe Lösungen

\(\begin{array}{rcl}z_1&=&\sqrt[n]{\varrho}\,e^{\frac{\alpha}{n}i},\\z_2&=&\sqrt[n]{\varrho}\,e^{\frac{\alpha+2\pi}{n}i},\\z_3&=&\sqrt[n]{\varrho}\,e^{\frac{\alpha+4\pi}{n}i},\\z_4&=&\sqrt[n]{\varrho}\,e^{\frac{\alpha+6\pi}{n}i},\\\vdots&&\vdots\\z_n&=&\sqrt[n]{\varrho}\,e^{\frac{\alpha+2(n-1)\pi}{n}i}\end{array}\)

Anwendung und Verwendung komplexer Zahlen

  • physikalische Größen sind im strengen Sinne nie imaginär, aber:

  • komplexe Zahlen erleichtern die Rechnung, insbesondere bei periodischen Vorgängen

Sie werden benutzt bei der

  • Überlagerung von Schwingungen

  • Beschreibung von Wechselstromschaltungen (komplexer Widerstand, Phasenverschiebungen,...)

  • ...

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Zuletzt geändert: Mittwoch, 26. Februar 2025, 15:56