Weitere Beispiele zur Partialbruchzerlegung

1) Partialbruchzerlegung ohne doppelte Nullstelle

a) Finden der Nullstellen des Nenners

Durch Raten (Betrachte hierzu am Besten die Konstante, hier also die 6. Meist ist einer ihrer Primfaktoren, hier also \(\pm1,\pm2,\pm3\), Nullstelle des Polynoms) findet man \(x_1=-1\) als erste Nullstelle.

Nach Polynomdivision folgt: \(x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)\) und somit durch die p,q-Formel :

\(x_1 =-1, x_2=2, x_3=3\) Somit haben wir keine mehrfache Nullstelle.

b) Aufstellen einer Gleichung mit Partialbrüchen

Der Ansatz für einen Nenner mit einfachen reellen Nullstellen lautet \(\displaystyle\frac{2x+1}{x^3-4x^2+x+6}=\displaystyle\frac{A}{x+1}+\displaystyle\frac{B}{x-2}+\displaystyle\frac{C}{x-3}\)

c) Berechnung der Konstanten

Hier gibt es zum einen die Möglichkeit, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren und anschließend einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.

Eine alternative und sehr elegante Lösung ist die Folgende: Man multipliziert die Gleichung jeweils mit jeder Nullstelle \((x-x_n)\) durch und setze anschließend \(x=x_n\). Dies führt augenblicklich zu den gesuchten Konstanten.

• erste Nullstelle \(x_1=-1\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit (x+1) und erhalten:

\(\displaystyle\frac{(2x+1)(x+1)}{x^3-4x^2+x+6}=\displaystyle\frac{A\cdot(x+1)}{x+1}+\displaystyle\frac{B\cdot(x+1)}{x-2}+\displaystyle\frac{C\cdot(x+1)}{x-3}\)

Durch Kürzen folgt:

\(\displaystyle\frac{2x+1}{(x-2)(x-3)}=\displaystyle\frac{A}{1}+\displaystyle\frac{B\cdot(x+1)}{x-2}+\displaystyle\frac{C\cdot(x+1)}{x-3}\stackrel{x=1}{\rightarrow} A=\displaystyle\frac{3}{-1\cdot-3}=\displaystyle\frac{3}{3}=1\)

• zweite Nullstelle \(x_2=2\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit (x-2) und erhalten (bereits gekürzt):

\(\displaystyle\frac{2x+1}{(x+1)(x-3)}=\displaystyle\frac{A\cdot(x-2)}{x+1}+B+\displaystyle\frac{C\cdot(x-2)}{x-3}\stackrel{x=2}{\rightarrow} B=-\displaystyle\frac{5}{3}\)

• dritte Nullstelle \(x_3=3\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit (x-3) und erhalten (bereits gekürzt):

\(\displaystyle\frac{2x+1}{(x+1)(x-2)}=\displaystyle\frac{A\cdot(x-3)}{x+1}+\displaystyle\frac{B\cdot(x-3)}{x-2}+C\stackrel{x=3}{\rightarrow} C=\displaystyle\frac{7}{4}\)

d) Auseinanderziehen des Integrals und Berechnung der einzelnen Partialbrüche

Damit erhalten wir für das Integral:

\(\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^3-4x^2+x+6} dx=\int\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5}{3}}{x-2}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{4}}{x-3} dx \)

\(\stackrel{RR}{=}\int \displaystyle\frac{1}{x+1}dx-\displaystyle\frac{5}{3}\cdot\int \displaystyle\frac{1}{x-2} dx+\displaystyle\frac{7}{4}\cdot\int\displaystyle\frac{1}{x-3} dx \)

\(=\ln\vert x+1\vert-\displaystyle\frac{5}{3}\cdot \ln\vert x-2 \vert +\displaystyle\frac{7}{4}\cdot\ln\vert x-3\vert\)

2) Partialbruchzerlegung mit doppelter Nullstelle

a) Finden der Nullstellen des Nenners

Man erkennt sofort, dass \(x^3-2x^2=x^2\cdot(x-2)\). Somit erhalte wir die Nullstellen \(x_{1,2}=0\)(doppelt) und \(x_3=2\)

b) Aufstellen einer Gleichung mit Partialbrüchen

Für doppelte Nullstellen ist ein möglicher Ansatz

\(\displaystyle\frac{x+1}{x^3-2x^2}=\displaystyle\frac{A}{x}+\displaystyle\frac{B}{x^2}+\displaystyle\frac{C}{x-2}\)

Man beachte hierbei den zusätzlichen Term \(\displaystyle\frac{B}{x^2}\), der durch die doppelte Nullstelle hinzukommt.

c) Finden der Konstanten

Mit dem bereits in 1) kennengelernten Verfahren können wir diesmal nicht alle Konstanten berechnen. Da die Nullstelle x=0 doppelt vorkommt, müssen wir den Term mit \(x^2\) durchmultiplizieren. Die Konstante A können wir daher nur durch Multiplikation mit dem Hauptnenner erhalten. Zunächst aber berechnen wir B und C mit obigem Verfahren:

• erste Nullstelle \(x_{1,2}=0\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit \(x^2\) und erhalten

\(\displaystyle\frac{(x+1)\cdot x^2}{x^3+2x^2}=\displaystyle\frac{A\cdot x^2}{x}+\displaystyle\frac{B\cdot x^2}{x^2}+\displaystyle\frac{C\cdot x^2}{x-2}\)

Durch Kürzen erhält man

\(\displaystyle\frac{x+1}{x-2}=\displaystyle\frac{Ax}{1}+\displaystyle\frac{B}{1}+\displaystyle\frac{C\cdot x^2}{x-2}\stackrel{x=0}{\rightarrow}B=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

• zweite Nullstelle \(x_3=2\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit (x-2) und erhalten nach dem Kürzen:

\(\displaystyle\frac{x+1}{x^2}=\displaystyle\frac{A\cdot(x-2)}{x}+\displaystyle\frac{B\cdot(x-2)}{x^2}+C \stackrel{x=2}{\rightarrow} C= \displaystyle\frac{3}{4}\)

Wir setzen nun \(B=-\displaystyle\frac{1}{2}\) und \(C= \displaystyle\frac{3}{4}\) in die Ausgangsgleichung ein und erhalten:

\(\displaystyle\frac{x+1}{x^3-2x^2}= \displaystyle\frac{A}{x}- \displaystyle\frac{1}{2\cdot(x^2)}+ \displaystyle\frac{3}{4\cdot(x-2)} \)

Wir multiplizieren zum Berechnen von A mit dem Hauptnenner \(8x^2\cdot(x-2)\) durch und Erhalten nach Ausmultiplizieren:

\(8x+8=x^2\cdot(8A+6)+x\cdot(-16A-4)+8\)

Damit folgt nach Koeffizientenvergleich:

• \(x^2\) : \(8A+6=0 \rightarrow A=-\displaystyle\frac{3}{4}\)
• \(x\) : \(-16A-4=8 \rightarrow A=-\displaystyle\frac{3}{4}\)
• \(x^0\) : \(8=8\)

Damit folgt für die Konstanten: \(A=-\displaystyle\frac{3}{4},B=-\displaystyle\frac{1}{2},C=\displaystyle\frac{3}{4}\)

d) Auseinanderziehen des Integrals und Berechnung der einzelnen Partialbrüche

Es folgt nun:

\(\int \displaystyle\frac{x+1}{x^3-2x^2}dx=\int-\displaystyle\frac{3}{4\cdot(x)}dx+\int-\displaystyle\frac{1}{2x^2}dx+\int\displaystyle\frac{3}{4\cdot(x-2)}dx\)

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\int\displaystyle\frac{1}{x}dx-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\int\displaystyle\frac{1}{x^2}dx+\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\int\displaystyle\frac{1}{x-2}dx\)

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\ln \vert x \vert -\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \ln \vert x-2 \vert)\)

\(-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot(\ln \vert x \vert-\ln \vert x-2 \vert)+\displaystyle\frac{1}{2x}\)

\(=-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot\ln \vert \displaystyle\frac{x}{x-2}\vert+\displaystyle\frac{1}{2x}\)