Beispiele zur Substitution II

Zwei weitere Beispiele zur Substitution

Die partielle Integration ist hier keine Alternative, da hier kein "echtes" Produkt (natürlich kann der Bruch zu einem Produkt umgeschrieben werden, hätte dann aber ungünstige Faktoren) vorliegt. Die Partialbruchzerlegung klappt nicht, da der Nenner keine Nullstelle besitzt, Es bleibt also nur die Substitution.

Aus den Potenzgesetzen ist bekannt, dass \(e^{2x}=(e^{x})^2\) gilt. Die günstigste Substitution wäre hier also \(e^{x}=y\).

Es folgt durch Ableiten \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{x}\) und somit \(\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{e^x}\,.\)

Führen wir nun die Substitution aus, ist zu beachten, dass das \(e^{x}\) im Zähler nicht ersetzt werden darf, da ansonsten das \(e^{x}\), welches sich aus der Umrechnung von \(\mathrm{d}x\) nach \(\mathrm{d}y\) ergibt, nicht eliminiert werden kann. Daher wird nur im Nenner ersetzt.

Es folgt:

\(\displaystyle\int \dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}} \,\mathrm{d}x= \displaystyle\int \dfrac{e^{x}}{1+y^2}\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{e^x} \stackrel{kürzen}{=}\int \dfrac{1}{1+y^2} dy=\arctan\big( y\big)  \stackrel{Rücksub.}{=} \arctan\big(e^{x}\big)\,.\)

Ähnlich wie in Beispiel 1 kommt hier eine partielle Integration nicht in Frage. Eine Partialbruchzerlegung führt zu einem Polynom 12.Grades, welches einige dreifache Nullstellen (0,-2) hätte und somit zu einem sehr komplizierten Verfahren führen würde.

Betrachtet man die Aufgabe, kann man feststellen, dass die innere Ableitung der Klammer im Nenner bereits, bis auf einen Vorfaktor, im Zähler steht. Dies spricht dafür, die Klammer im Nenner zu substituieren, allerdings ohne die Potenz, da sonst die innere Ableitung deutlich komplizierter wird.

Wir substituieren also \(x^4+8x=y \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4x^3+8 \Rightarrow \mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{d}y}{4x^3+8}\)

Wir setzen ein und erhalten:

\(\displaystyle\int \dfrac{x^3+2}{(x^4+8x)^3} \,\mathrm{d}x=\int \dfrac{x^3+2}{y^3}\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{4x^3+8} = \int \dfrac{x^3+2}{4\cdot(x^3+2)}\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{y^3}\)

\(\stackrel{kürzen}{=} \displaystyle\int \dfrac{1}{4\cdot y^3} \,\mathrm{d}y = -\dfrac{1}{8 y^2} \stackrel{Rücksub.}{=}-\dfrac{1}{8\cdot(x^4+8x)^2}\,.\)