Beispiel 1: Matrix mit komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren

Zur Berechnung der Eigenwerte bilden wir das charakteristische Polynom

\(\chi_A(\lambda)= \det(A-\lambda\cdot E)=\det\Bigg(\left(\begin{array}{rrr} -1&-3&4\\1&0&-1\\1&-1&2\end{array}\right) -\left(\begin{array}{rrr}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{array}\right)\Bigg)\)

\(=\det\left(\begin{array}{ccc}(-1-\lambda)&-3&4\\1&-\lambda&-1\\1&-1&(2-\lambda)\end{array}\right)\)

Durch die Sarrus-Regel folgt

\(\det\left(\begin{array}{ccc}(-1-\lambda)&-3&4\\1&-\lambda&-1\\1&-1&(2-\lambda)\end{array}\right)=-\lambda^3+\lambda^2+4\cdot\lambda+6=-(\lambda^3-\lambda^2-4\cdot\lambda-6)\)

Wir raten die erste Nullstelle: \(\lambda_1=3\)

Durch Polynomdivision oder Horner-Schema folgt: \((\lambda^3-\lambda^2-4\cdot\lambda-6): (\lambda-3)=\lambda^2+2\cdot\lambda+2\)

Mit der p,q-Formel folgen die weiteren Nullstellen: \(\lambda_{2,3}=(\frac{-2}{2})\pm\sqrt{(\frac{2}{2}^2)-2}=-1\pm\sqrt{-1}=-1\pm i\)

Die drei Eigenwerte sind also \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=-1-i\) und \(\lambda_3=-1+i\).

Zur Berechnung der Eigenvektoren lösen wir für jeden Eigenwert das Gleichungssystem \((A-\lambda\cdot E)\vec{v}=0\)

Für den Eigenwert \(\lambda_1=3\) folgt:

\((A-\lambda\cdot E)\vec{v}= \left(\begin{array}{rrr}\ -4&-3&4\\1&-3&-1\\1&-1&-1\end{array}\right)\vec{v}= 0\)

Wir benutzen das Gauß-Verfahren zur Lösung dieses linearen Gleichungssystems, vertauschen (3) und (1) und erhalten

\(\left(\begin{array}{rrr|r}\ 1&-1&-1&0\\1&-3&1&0\\-4&-3&4&0\end{array}\right)\)

Nun berechnen wir \((1)-(2)\) sowie \(4\cdot(1)+(3)\) und erhalten

\(\left(\begin{array}{rrr|r}\ 1&-1&-1&0\\0&2&0&0\\0&-7&0&0\end{array}\right)\)

Nun berechnen wir \(7\cdot(2)+2\cdot(3)\) und erhalten

\(\left(\begin{array}{rrr|r}\ 1&-1&-1&0\\0&2&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

Aus (2) folgt \(x_2=0\)

Aus (1) folgt (mit \(x_2=0\)) : \(x_1=x_3\)

Damit erhalten wir als Lösung:

\(\left(\begin{array}{r}\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_3\\ 0 \\ x_3\end{array}\right)=x_3\cdot\left(\begin{array}{c} 1\\0\\1\end{array}\right)\)

und somit den Eigenvektor \(v_1=\left(\begin{array}{c} 1\\0\\1\end{array}\right)\).

Für komplexe Eigenwerte müssen wir auch Eigenvektoren mit komplexen Einträgen suchen.

Für \( \lambda_2=-1-i\) folgt:

\((A-\lambda\cdot E)\vec{v}= \left(\begin{array}{ccc}\ i&-3&4\\1&(1+i)&-1\\1&-1&(3+i)\end{array}\right)\vec{v}\stackrel{!}{=}0\)

Wir vertauschen (3) und (1) und erhalten

\(\left(\begin{array}{ccc|r}\ 1&-1&3+i&0\\1&(i+1)&-1&0\\i&-3&4&0\end{array}\right)\)

Nun berechnen wir \((1)-(2)\) sowie \(i\cdot(1)-(3)\) und erhalten

\(\left(\begin{array}{ccc|r}\ 1&-1&(3+i)&0\\0&(-2-i)&(4+i)&0\\0&(3-i)&(-5+3i)&0\end{array}\right)\)

Nun berechnen wir \((3-i)\cdot(2)+(2+i)\cdot(3)\) und erhalten

\(\left(\begin{array}{ccc|r} 1&-1&(3+i)&0\\0&(-2-i)&(4+i)&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

Aus (2) folgt \(x_2=\displaystyle\frac{-(4+i)}{-2-i}\cdot x_3=\displaystyle\frac{4+i}{2+i}\cdot x_3=\displaystyle\frac{(4+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\cdot x_3=(\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\cdot i)\cdot x_3\)

Aus (1) folgt nun \(x_1=x_2-x_3\cdot (3+i)=(\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\cdot i)\cdot x_3-x_3\cdot (3+i)=(-\frac{6}{5}-\frac{7}{5}\cdot i)\cdot x_3\)

Damit erhalten wir als Lösung:

\(\left(\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}\ (-\frac{6}{5}-\frac{7}{5}\cdot i)\cdot x_3 \\ (\frac{9}{5}-\frac{2}{5}\cdot i)\cdot x_3 \\ x_3\end{array}\right)=x_3\cdot\left(\begin{array}{r} -\frac{6}{5}-\frac{7}{5}\cdot i \\ \frac{9}{5}-\frac{2}{5}\cdot i \\1\end{array}\right)\)

und somit den Eigenvektor \( \left(\begin{array}{c} -\frac{6}{5}-\frac{7}{5}\cdot i \\ \frac{9}{5}-\frac{2}{5}\cdot i \\ 1\end{array}\right).\)

Wir erweitern mit 5 und erhalten

\(v_2=\left(\begin{array}{c}\ -6-7i \\ 9-2i \\ 5\end{array}\right)\)

Für den Eigenwert \( \lambda_3=-1+i\) folgt:

Hier machen wir uns die Eigenschaft zunutze, dass aus \(\lambda_3=\bar{\lambda_2}\) folgt \(v_3=\bar{v_2}\)

Damit folgt für den dritten Eigenvektor \(v_3=\left(\begin{array}{c} -6+7i \\ 9+2i \\ 5\end{array}\right).\)