Beispiel 2: Matrix mit mehrfachem Eigenwert

Beispiel 2: Matrix mit mehrfachen Eigenwerten

Zur Berechnung der Eigenwerte bilden wir das charakteristische Polynom

\(\det(A-\lambda\cdot E)=\det\Bigg(\left(\begin{array}{rrr}\ 0&1&-1\\1&0&1\\1&-1&2\end{array}\right) -\left(\begin{array}{rrr}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{array}\right)\Bigg)\)

\(=\det\left(\begin{array}{ccc}\ (-\lambda)&1&-1\\1&-\lambda&1\\1&-1&(2-\lambda)\end{array}\right)\)

Durch die Sarrus-Regel folgt

\(\det\left(\begin{array}{ccc}(-\lambda)&1&-1\\1&-\lambda&1\\1&-1&(2-\lambda)\end{array}\right)\) \(=-\lambda^3+2\cdot\lambda^2-\lambda=-(\lambda^3-2\cdot\lambda^2+\lambda)\)

Die erste Nullstelle folgt trivial: \(\lambda_1=0\)

Es folgt : \(\lambda^3-2\cdot\lambda^2+\lambda=\lambda\cdot(\lambda^2-2\cdot\lambda+1)\stackrel{binom. Formel}{=}\lambda\cdot(\lambda-1)^2\)

Damit folgt \(\lambda_2=\lambda_3=1\) als doppelte Nullstelle.

Zur Berechnung der Eigenvektoren lösen wir für jeden Eigenwert das Gleichungssystem \((A-\lambda\cdot E_3)=0\)

• Für den Eigenwert \(\lambda_1=0\) folgt:

  \((A-\lambda\cdot E_3)\vec{v}=\left(\begin{array}{rrr}\ 0&1&-1\\1&0&1\\1&-1&2\end{array}\right)\vec{v}\stackrel{!}{=}0\)

  Wir berechnen (3)-(2) und erhalten in der dritten Zeile:

  \(\left(\begin{array}{rrr|r}\ 0&1&-1&0\\1&0&1&0\\0&-1&1&0\end{array}\right)\stackrel{!}{=}0\)

  Wir berechnen (1)+(3) und erhalten:

  \(\left(\begin{array}{rrr|r}\ 0&1&-1&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

  Aus (1) folgt \(x_2=x_3\)

  Aus (2) folgt \(x_1=-x_3\)

  Damit erhalten wir als Lösung:

  \(\left(\begin{array}{r}\ x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\;=\left(\begin{array}{c}\ -x_3\\x_3\\x_3\end{array}\right)\;=\;x_3\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\1\\1\end{array}\right)\)

  und somit den Eigenvektor \(\vec{v}_1=\left(\begin{array}{r} -1\\1\\1\end{array}\right)\)

• Für den Eigenwert \(\lambda_2=1\) folgt:

  \((A-\lambda\cdot E_3)\vec{v}=\left(\begin{array}{rrr}\ -1&1&-1\\1&-1&1\\1&-1&1\end{array}\right)\vec{v}\stackrel{!}{=}0\)

  Wir berechnen (1)+(2) und (1)+(3) und erhalten in Zeile 2 und 3:

  \(\left(\begin{array}{rrr|r}\ -1&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

  Damit folgt \(x_1=x_2-x_3\) und wir erhalten als Lösung:

  \(\left(\begin{array}{r} x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_2-x_3 \\x_2\\x_3\end{array}\right)=x_2\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\1\\0\end{array}\right) +x_3\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right)\)

  und somit die Eigenvektoren:

  \(\}vec{v}_2=\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\0 \end{array}\right)\) und

  \(\vec{v}_3=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\)

Es ist hier nicht sinnvoll oder nötig, Eigenvektoren zu normieren oder orthogonal zu wählen. Das macht man üblicherweise nur bei symmetrischen Matrizen.