16.4 Inhomogene lineare Differentialgleichungen
16.4 Inhomogene lineare Differentialgleichungen
Wir untersuchen die inhomogene lineare Differentialgleichung
$\dot{x}(t)=a(t)x(t)+b(t).$
Die Methode der "Variation der Konstanten" von Lagrange besteht darin, einen Ansatz der Form
$x(t)=C(t)\cdot\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^t a(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right)$
zu machen, also in der Lösung für die zugehörige homogene Differentialgleichung die Konstante $C$ durch eine Funktion $C(t)$ zu ersetzen, also variabel zu machen. Dieser Ansatz führt auf die Differentialgleichung
$\dot{C} (t) e^{\int\limits_{t_0}^t a(\tau) \,\mathrm{d}\tau} + C(t) e^{\int\limits_{t_0}^t a(\tau)\,\mathrm{d}\tau} a(t) = a(t) C(t) e^{\int\limits_{t_0}^t a(\tau)\,\mathrm{d}\tau}+b(t) $
für die Funktion $C(t)$, die sich direkt integrieren lässt. Wir erhalten
$C(t)=\int\limits_{t_0}^t b(\tau)\cdot\exp\left(-\int\limits_{t_0}^\tau a(\sigma)\,\mathrm{d}\sigma\right)\,\mathrm{d}\tau+C_0.$
Auch hier kann man zeigen, dass diese Lösung die eindeutige Lösung ist, oder als Satz formuliert:
$x(t)=\left[x_0+\int\limits_{t_0}^t b(\tau)\cdot\exp\left(-\int\limits_{t_0}^{\tau}a(\rho)\,\mathrm{d}\rho\right)\,\mathrm{d}\tau\right]\,\cdot\,\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^t a(\sigma)\,\mathrm{d}\sigma\right)$
gegeben.Die Lösung der Differentialgleichung $\dot x(t)=\tan(t) x(t)+\sin(t)$ zum Anfangswert $x(0)=1$ ist
$\begin{array}{rcl} x(t) & = & \left( 1+\int\limits_0^t \sin(\tau)\cdot \exp\left(-\int\limits_0^\tau \tan(\rho)\,\mathrm{d}\rho\right)\,\mathrm{d}\tau \right) \cdot\exp\left(\,\,\int\limits_0^t\tan(\sigma)\,\mathrm{d}\sigma\right) \\ & = & \left( 1+\int\limits_0^t \sin(\tau)\cdot \exp\left(\ln(\cos(\tau))\right)\,\mathrm{d}\tau \right) \cdot\exp\left(-\ln(\cos(t))\right) \\ & = & \left( 1+\int\limits_0^t \underbrace{\sin(\tau)\cos(\tau)}_{=\frac{1}{2}\sin(2\tau)}\,\mathrm{d}\tau \right) \cdot\dfrac{1}{\cos(t)} \\ & = & \left( 1-\frac{1}{4}\cos(2\tau)+\frac{1}{4}\cos(0) \right) \cdot\dfrac{1}{\cos(t)} \\ & = & \dfrac{5-\cos(2t)}{4\cos(t)} \end{array}$
Im Fortsetzungskurs MatheMaterialien 2 werden wir uns dann der Frage zuwenden, wie man mehrere Differentialgleichungen lösen kann, die miteinander gekoppelt sind.