11.5 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

FĂŒr die Definition der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus gibt es verschiedene Möglichkeiten - geometrische am Dreieck oder Einheitskreis, aber auch rein analytische ĂŒber Reihen (die wir erst im zweiten Semester behandeln). Sie liefern am Ende alle dasselbe, wir wĂ€hlen mit Blick auf Anwendungen die geometrische Definition am Einheitskreis.

Definition (Sinus und Cosinus):

Sei \(P\) ein Punkt auf dem Einheitskreis, so dass die \(x\)-Achse und die Verbindungsstrecke von \(0\) nach \(P\) den Winkel \(\varphi \) einschließen (im Bogenmaß gemessen), dann hat \(P\) die Koordinaten \(P=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))\).

def_sin_cos

Definition (Tangens):

FĂŒr alle \(\varphi \) mit \(\cos (\varphi )\neq 0\), d.h. fĂŒr definiert man den Tangens durch

\(\tan(\varphi)=\displaystyle\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\)

 

   

Bemerkung :

Wer aus der Schule die Definition ĂŒber die SeitenlĂ€ngen eines rechtwinkligen Dreiecks, also

Sinus = \(\displaystyle\frac {\textsf{Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}\) und Cosinus = \(\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}\)

kennt, kann diese auch wiederfinden, indem er oder sie das blaue Dreieck in der folgenden Skizze betrachtet:

sinus_dreieck

Seine Hypothenuse habe die LĂ€nge \(r\). Das rote Dreieck ist dazu Ă€hnlich hat aber die Hypothenuse der LĂ€nge \(1\). Daher sind nach "‘unserer Definition"’ von Sinus und Cosinus die LĂ€ngen der beiden Katheten \(\cos (\varphi )\) und \(\sin (\varphi )\). Nach dem Strahlensatz sind die LĂ€ngen der Katheten im blauen Dreieck also \(r\cos (\varphi )\) und \(r\sin (\varphi )\), man erhĂ€lt daher:

\(\displaystyle\frac {\text {Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\sin (\varphi )}{r}=\sin (\varphi )\;\) und \(\;\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\cos (\varphi )}{r}=\cos (\varphi )\)

 

Bemerkung:
Oft wird das Argument bei Sinus und Cosinus nicht in Klammern gesetzt, wenn halbwegs klar ist, welches Argument gemeint ist, also \(\cos \varphi \) statt \(\cos (\varphi )\) oder auch \(\sin 2\alpha \) statt \(\sin (2\alpha )\), da \(\sin (2)\alpha \) meistens nicht so viel Sinn ergibt. In diesem Skript bleiben wir aber bei den Klammern.

Direkt aus der Definition ergeben sich sofort

Einige wichtige Eigenschaften von Sinus und Cosinus:

  • fĂŒr beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) ist immer \(-1\leq \cos (\varphi )\leq 1\) und \(-1\leq \sin (\varphi )\leq 1\)

  • es ist \(\cos (-\varphi )=\cos (\varphi )\), d.h. der Cosinus ist eine gerade Funktion von \(\varphi \)

  • es ist \(\sin (-\varphi )=-\sin (\varphi )\), d.h. der Sinus ist eine ungerade Funktion von \(\varphi \)

  • Der Satz des Pythagoras angewandt im ganz oben blau unterlegten Dreieck ergibt fĂŒr beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) die IdentitĂ€t

    \(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1.\)

    Man beachte die Schreibweise \(\cos ^2(\varphi )=(\cos (\varphi ))^2\), um ein paar Klammern zu sparen und etwas Übersichtlichkeit zu gewinnen.


  • da eine Änderung des Winkels \(\varphi \) um einen vollen Umlauf \(2\pi \) an der Geometrie nichts Ă€ndert ist \(\cos (\varphi +2\pi )=\cos (\varphi )\) und \(\sin (\varphi +2\pi )=\sin (\varphi )\)

  • wiederholte Anwendung dieses Arguments zeigt, dass sogar

    \(\cos(\varphi+2k\pi)=\cos(\varphi)\;\;\text{und}\;\;\sin(\varphi+2k\pi)=\sin(\varphi) \) fĂŒr alle \(k\in\mathbb{Z}\)

Bemerkung :

Wenn es einen Titel fĂŒr die im ersten Studienjahr am hĂ€ufigsten gebrauchten Formel oder Gleichung gĂ€be, dann wĂ€re

\(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1\)

ein heißer Favorit fĂŒr diesen Titel. Also unbedingt merken!

 

Mit Hilfe von elementargeometrischen Überlegungen kann man sich die Werte von Sinus und Cosinus fĂŒr einige spezielle \(\varphi \) ĂŒberlegen.

Grad

rad

\(\sin (\varphi )\)

\(\cos (\varphi )\)

\(\tan (\varphi )\)

\(0^{\circ }\)

\(0\)

\(0\)

\(1\)

\(0\)

\(30^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{6}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{\sqrt {3}}\)

\(45^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{4}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\)

\(1\)

\(60^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\)

\(\sqrt {3}\)

\(90^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{2}\)

\(1\)

\(0\)

—

Aus diesen einzelnen Werten erhĂ€lt man natĂŒrlich noch kein Schaubild, aber mit dem folgenden Geogebra-Applet kann man schön sehen, wie die Form des Schaubilds sich aus der Definition am Einheitskreis ergibt.

Applet: Sinusfunktion - GeoGebra Dynamisches Arbeitsblatt

Applet: Sinusfunktion

VerÀndere mit dem Schieberegler den Winkel und beobachte, wie so die Sinusfunktion entsteht.

Achtung! FĂŒr praktisch alle anderen \(\varphi \) kann man \(\sin (\varphi )\) und \(\cos (\varphi )\) nur nĂ€herungsweise bzw. mit dem Taschenrechner bestimmen. Da wir ĂŒblicherweise Winkel im Bogenmaß messen, mĂŒssen Sie Ihren Taschenrechner auf RAD und nicht auf DEG oder GRAD einstellen.

Da \(\cos (\pi ) = -1\) ist, ist Ihr Taschenrechner richtig eingestellt, wenn sich bei \(\cos (\pi )\) oder \(\cos (3,14)\) ungefÀhr \(-1\) ergibt. Ist Ihr Taschenrechner auf DEG eingestellt, so erhalten Sie den falschen Wert \(\cos (\pi ^\circ ) \approx 0, 998497159\).

Ultime modifiche: mercoledĂŹ, 26 febbraio 2025, 10:01