11.5 Die trigonometrischen Funktionen
11.5 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
Für die Definition der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus gibt es verschiedene Möglichkeiten - geometrische am Dreieck oder Einheitskreis, aber auch rein analytische über Reihen (die wir erst im zweiten Semester behandeln). Sie liefern am Ende alle dasselbe, wir wählen mit Blick auf Anwendungen die geometrische Definition am Einheitskreis.
Sei \(P\) ein Punkt auf dem Einheitskreis, so dass die \(x\)-Achse und die Verbindungsstrecke von \(0\) nach \(P\) den Winkel \(\varphi \) einschließen (im Bogenmaß gemessen), dann hat \(P\) die Koordinaten \(P=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))\).
Für alle \(\varphi \) mit \(\cos (\varphi )\neq 0\), d.h. für definiert man den Tangens durch
\(\tan(\varphi)=\displaystyle\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\)
Sinus = \(\displaystyle\frac {\text {Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}\) und Cosinus = \(\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}\)
kennt, kann diese auch wiederfinden, indem er oder sie das blaue Dreieck in der folgenden Skizze betrachtet:\(\displaystyle\frac {\text {Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\sin (\varphi )}{r}=\sin (\varphi )\;\) und \(\;\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\cos (\varphi )}{r}=\cos (\varphi )\)
Direkt aus der Definition ergeben sich sofort
Einige wichtige Eigenschaften von Sinus und Cosinus:
- für beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) ist immer \(-1\leq \cos (\varphi )\leq 1\) und \(-1\leq \sin (\varphi )\leq 1\)
- es ist \(\cos (-\varphi )=\cos (\varphi )\), d.h. der Cosinus ist eine gerade Funktion von \(\varphi \)
- es ist \(\sin (-\varphi )=-\sin (\varphi )\), d.h. der Sinus ist eine ungerade Funktion von \(\varphi \)
-
Der Satz des Pythagoras angewandt im ganz oben blau unterlegten Dreieck ergibt für beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) die Identität
\(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1.\)
Man beachte die Schreibweise \(\cos ^2(\varphi )=(\cos (\varphi ))^2\), um ein paar Klammern zu sparen und etwas Übersichtlichkeit zu gewinnen.
- da eine Änderung des Winkels \(\varphi \) um einen vollen Umlauf \(2\pi \) an der Geometrie nichts ändert ist \(\cos (\varphi +2\pi )=\cos (\varphi )\) und \(\sin (\varphi +2\pi )=\sin (\varphi )\)
-
wiederholte Anwendung dieses Arguments zeigt, dass sogar
\(\cos(\varphi+2k\pi)=\cos(\varphi)\;\;\text{und}\;\;\sin(\varphi+2k\pi)=\sin(\varphi) \) für alle \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1\)
ein heißer Favorit für diesen Titel. Also unbedingt merken!
Mit Hilfe von elementargeometrischen Überlegungen kann man sich die Werte von Sinus und Cosinus für einige spezielle \(\varphi \) überlegen.
Grad |
rad |
\(\sin (\varphi )\) |
\(\cos (\varphi )\) |
\(\tan (\varphi )\) |
\(0^{\circ }\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(30^{\circ }\) |
\(\displaystyle\frac {\pi }{6}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{\sqrt {3}}\) |
\(45^{\circ }\) |
\(\displaystyle\frac {\pi }{4}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\) |
\(1\) |
\(60^{\circ }\) |
\(\displaystyle\frac {\pi }{3}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\) |
\(\displaystyle\frac {1}{2}\) |
\(\sqrt {3}\) |
\(90^{\circ }\) |
\(\displaystyle\frac {\pi }{2}\) |
\(1\) |
\(0\) |
— |
Aus diesen einzelnen Werten erhält man natürlich noch kein Schaubild, aber mit dem folgenden Geogebra-Applet kann man schön sehen, wie die Form des Schaubilds sich aus der Definition am Einheitskreis ergibt.
Applet: Sinusfunktion - GeoGebra Dynamisches Arbeitsblatt
Applet: SinusfunktionVerändere mit dem Schieberegler den Winkel und beobachte, wie so die Sinusfunktion entsteht. Achtung! Für praktisch alle anderen \(\varphi \) kann man \(\sin (\varphi )\) und \(\cos (\varphi )\) nur näherungsweise bzw. mit dem Taschenrechner bestimmen. Da wir üblicherweise Winkel im Bogenmaß messen, müssen Sie Ihren Taschenrechner auf RAD und nicht auf DEG oder GRAD einstellen. Da \(\cos (\pi ) = -1\) ist, ist Ihr Taschenrechner richtig eingestellt, wenn sich bei \(\cos (\pi )\) oder \(\cos (3,14)\) ungefähr \(-1\) ergibt. Ist Ihr Taschenrechner auf DEG eingestellt, so erhalten Sie den falschen Wert \(\cos (\pi ^\circ ) \approx 0, 998497159\). |