11.5 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

Für die Definition der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus gibt es verschiedene Möglichkeiten - geometrische am Dreieck oder Einheitskreis, aber auch rein analytische über Reihen (die wir erst im zweiten Semester behandeln). Sie liefern am Ende alle dasselbe, wir wählen mit Blick auf Anwendungen die geometrische Definition am Einheitskreis.

Definition (Sinus und Cosinus):

Sei \(P\) ein Punkt auf dem Einheitskreis, so dass die \(x\)-Achse und die Verbindungsstrecke von \(0\) nach \(P\) den Winkel \(\varphi \) einschließen (im Bogenmaß gemessen), dann hat \(P\) die Koordinaten \(P=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))\).

def_sin_cos

Definition (Tangens):

Für alle \(\varphi \) mit \(\cos (\varphi )\neq 0\), d.h. für definiert man den Tangens durch

\(\tan(\varphi)=\displaystyle\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\)

 

   

Bemerkung :
Wer aus der Schule die Definition über die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, also

Sinus = \(\displaystyle\frac {\text {Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}\) und Cosinus = \(\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}\)

kennt, kann diese auch wiederfinden, indem er oder sie das blaue Dreieck in der folgenden Skizze betrachtet:

sinus_dreieck

Seine Hypothenuse habe die Länge \(r\). Das rote Dreieck ist dazu ähnlich hat aber die Hypothenuse der Länge \(1\). Daher sind nach "‘unserer Definition"’ von Sinus und Cosinus die Längen der beiden Katheten \(\cos (\varphi )\) und \(\sin (\varphi )\). Nach dem Strahlensatz sind die Längen der Katheten im blauen Dreieck also \(r\cos (\varphi )\) und \(r\sin (\varphi )\), man erhält also:

\(\displaystyle\frac {\text {Gegenkathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\sin (\varphi )}{r}=\sin (\varphi )\;\) und \(\;\displaystyle\frac {\text {Ankathete}}{\text {Hypothenuse}}=\displaystyle\frac {r\cos (\varphi )}{r}=\cos (\varphi )\)

 

Bemerkung:
Oft wird das Argument bei Sinus und Cosinus nicht in Klammern gesetzt, wenn halbwegs klar ist, welches Argument gemeint ist, also \(\cos \varphi \) statt \(\cos (\varphi )\) oder auch \(\sin 2\alpha \) statt \(\sin (2\alpha )\), da \(\sin (2)\alpha \) meistens nicht so viel Sinn ergibt. In diesem Skript bleiben wir aber bei den Klammern.

   

Direkt aus der Definition ergeben sich sofort

Einige wichtige Eigenschaften von Sinus und Cosinus:

  • für beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) ist immer \(-1\leq \cos (\varphi )\leq 1\) und \(-1\leq \sin (\varphi )\leq 1\)

  • es ist \(\cos (-\varphi )=\cos (\varphi )\), d.h. der Cosinus ist eine gerade Funktion von \(\varphi \)

  • es ist \(\sin (-\varphi )=-\sin (\varphi )\), d.h. der Sinus ist eine ungerade Funktion von \(\varphi \)

  • Der Satz des Pythagoras angewandt im ganz oben blau unterlegten Dreieck ergibt für beliebige \(\varphi \in \mathbb {R}\) die Identität

    \(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1.\)

    Man beachte die Schreibweise \(\cos ^2(\varphi )=(\cos (\varphi ))^2\), um ein paar Klammern zu sparen und etwas Übersichtlichkeit zu gewinnen.


  • da eine Änderung des Winkels \(\varphi \) um einen vollen Umlauf \(2\pi \) an der Geometrie nichts ändert ist \(\cos (\varphi +2\pi )=\cos (\varphi )\) und \(\sin (\varphi +2\pi )=\sin (\varphi )\)

  • wiederholte Anwendung dieses Arguments zeigt, dass sogar

    \(\cos(\varphi+2k\pi)=\cos(\varphi)\;\;\text{und}\;\;\sin(\varphi+2k\pi)=\sin(\varphi) \) für alle \(k\in\mathbb{Z}\)

Bemerkung :
Wenn es einen Titel für die im ersten Studienjahr am häufigsten gebrauchten Formel oder Gleichung gäbe, dann wäre

\(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1\)

ein heißer Favorit für diesen Titel. Also unbedingt merken!

 

Mit Hilfe von elementargeometrischen Überlegungen kann man sich die Werte von Sinus und Cosinus für einige spezielle \(\varphi \) überlegen.

Grad

rad

\(\sin (\varphi )\)

\(\cos (\varphi )\)

\(\tan (\varphi )\)

\(0^{\circ }\)

\(0\)

\(0\)

\(1\)

\(0\)

\(30^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{6}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{\sqrt {3}}\)

\(45^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{4}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2}\)

\(1\)

\(60^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\cdot \sqrt {3}\)

\(\displaystyle\frac {1}{2}\)

\(\sqrt {3}\)

\(90^{\circ }\)

\(\displaystyle\frac {\pi }{2}\)

\(1\)

\(0\)

—

Aus diesen einzelnen Werten erhält man natürlich noch kein Schaubild, aber mit dem folgenden Geogebra-Applet kann man schön sehen, wie die Form des Schaubilds sich aus der Definition am Einheitskreis ergibt.

Applet: Sinusfunktion - GeoGebra Dynamisches Arbeitsblatt

Applet: Sinusfunktion

Verändere mit dem Schieberegler den Winkel und beobachte, wie so die Sinusfunktion entsteht.

Achtung! Für praktisch alle anderen \(\varphi \) kann man \(\sin (\varphi )\) und \(\cos (\varphi )\) nur näherungsweise bzw. mit dem Taschenrechner bestimmen. Da wir üblicherweise Winkel im Bogenmaß messen, müssen Sie Ihren Taschenrechner auf RAD und nicht auf DEG oder GRAD einstellen.

Da \(\cos (\pi ) = -1\) ist, ist Ihr Taschenrechner richtig eingestellt, wenn sich bei \(\cos (\pi )\) oder \(\cos (3,14)\) ungefähr \(-1\) ergibt. Ist Ihr Taschenrechner auf DEG eingestellt, so erhalten Sie den falschen Wert \(\cos (\pi ^\circ ) \approx 0, 998497159\).

Zuletzt geändert: Sonntag, 27. Januar 2019, 10:14