11.4 Die Logarithmusfunktion

Wir haben gesehen, dass die Exponentialfunktion \(\exp :\mathbb {R}\to (0,\infty )\) streng monoton wachsend ist und alle Werte im Intervall \((0,\infty)\) annimmt. Daher besitzt die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion.

  

Definition (Logarithmus):
Die Logarithmusfunktion \(\ln \colon( 0,\infty )\to \mathbb {R}\) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt also

\(y=\ln( x){\quad}\Leftrightarrow{\quad}x=e^y\)

Schaubild der Logarithmusfunktion

 

Die Logarithmusfunktion ist ebenfalls streng monoton wachsend und aus den speziellen Werten der Exponentialfunktion ergeben sich die speziellen Werte

\(\ln(1)=0,\qquad\ln(e)=1.\)

Beispiel :

Kleinere Flugzeug haben ĂŒblicherweise keine MessgerĂ€te, die die Flughöhe direkt messen, sondern verwenden dafĂŒr die barometrische Höhenmessung . Weil man weiß, wie der Luftdruck als Funktion der Höhe ĂŒber dem Boden abnimmt, kann man umgekehrt aus dem gemessenen Luftdruck die Flughöhe bestimmen. Die barometrische Höhenformel besagt, dass bei einem Luftdruck \(p_0\) auf der Höhe \(h_0=0\) der Druck auf der Höhe \(h\) durch

\(p( h)=p_0e^{-\displaystyle\frac{\rho_0}{p_0}gh}\)

gegeben ist, wobei \(\rho _0\) die Dichte auf der Höhe \(0\) und \(g\approx 10\frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung ist. Die Umkehrfunktion kann mit Hilfe der Logarithmusfunktion explizit bestimmt werden und ergibt als Höhe

\(h( p)=\displaystyle\frac{p_0}{\rho_0 g}\cdot\ln\left(\displaystyle\frac{p_0}{p}\right)\)

in AbhÀngigkeit des gemessenen Drucks \(p\).


Aus den Rechenregeln fĂŒr Potenzen (den Potenzgesetzen ) kann man entsprechende Regeln fĂŒr das Rechnen mit Logarithmen herleiten.

Satz (Logarithmengesetze):
FĂŒr alle \(x,y>0\) gilt:
\( \begin{array}{rcl} \ln( x) + \ln( y) & = & \ln( x\cdot y) \\ \ln( x) - \ln( y) & = & \ln(\frac{x}{y}) \\ \beta\ln( x) & = & \ln( x^{\beta}) \\ \frac{1}{n} \ln( x) & = & \ln(\sqrt[n]{x}) \end{array} \)

BegrĂŒndung: Ausgangspunkt ist das Potenzgesetz

\(\underbrace{e^a}_{=x}\cdot\underbrace{e^b}_{=y}=\underbrace{e^{a+b}}_{=x\cdot\,y}.\)


Nach Definition des Logarithmus ist wegen \(a=\ln (x)\), \(b=\ln ( y)\) und \(a+b=\ln ( x\,\cdot\,y)\)

\(\ln(x)+ \ln(y)=\ln( x\,\cdot\,y).\)

FĂŒr die dritte IdentitĂ€t beginnen wir mit dem Potenzgesetz

\(\left(\underbrace{e^a}_{=x}\right)^n=\underbrace{e^{n\cdot\,a}}_{=y}\)

Nach der Definition des Logarithmus ist dann \(a=\ln (x)\) und \(n\cdot a=\ln( y)\). Aus der Gleichung \(y=x^n\) erhÀlt man damit

\(n\cdot\ln( x)=\ln( y)=\ln( x^n).\)

Die anderen IdentitÀten lassen sich auf Àhnliche Weise aus den Potenzgesetzen herleiten.

☐

  Die Logarithmengesetze helfen (allerdings nur manchmal) dabei, dass man gewisse Gleichungen mit Logarithmen auflösen kann. Ein Beispiel können Sie hier direkt selbst versuchen:

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Satz (Wachstumsverhalten der Logarithmusfunktion):
Die Logarithmusfunktion wĂ€chst fĂŒr \(x\to \infty\) langsamer als jede Potenzfunktion: \(\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^n} = 0\) fĂŒr jedes \(n\in\mathbb{N}\).

Beweis: Der Grenzwert lĂ€sst sich zurĂŒckfĂŒhren auf den schon bekannten Grenzwert

\(\displaystyle\lim\limits_{t\to-\infty}te^t=0,\) ("Die Exponentialfunktion gewinnt immer")

indem man \(x=e^ t\) setzt. Dann ist

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(x)}{x^n}=\lim\limits_{t\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(e^t)}{(e^t)^n}=\lim\limits_{t\to\infty}\displaystyle\frac{t}{e^{nt}}=\lim\limits_{t\to\infty}\displaystyle\frac{t}{e^{nt}}=\lim\limits_{t\to\infty}te^{-nt}=0\)

☐

Ultime modifiche: mercoledĂŹ, 26 febbraio 2025, 08:34