11.3 Die Exponentialfunktion
11.3 Die Exponentialfunktion
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Exponentialfunktion mathematisch sauber zu definieren. Leider ist es gar nicht so einfach nachzurechnen, dass diese verschiedenen Varianten am Ende genau dieselbe Funktion ergeben. Wer also in der Schule gelernt hat, dass
\(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^n\)
ist, der wird sich hier noch eine Weile gedulden mĂŒssen, bevor wir diese Charakterisierung ebenfalls zur VerfĂŒgung haben. Eine weitere Charakterisierung ist möglich mittels der Differentialgleichung
\(\dot{x}(t)=x(t)\;\;\;\text{ mit }\;\;\;x(0)=1,\)
deren eindeutige Lösung \(x(t)=e^x\) ist. Auch diese praktische Tatsache wird uns noch begegnen, aber sie wird nicht unserer Definition der Exponentialfunktion zugrundeliegen, obwohl dies manche BĂŒcher mit gutem Grund so machen.
Der Weg, der hier beschritten wird, hat den Vorteil, dass er sich ohne groĂe Probleme spĂ€ter auch fĂŒr die Exponentialfunktion von komplexen Zahlen, benutzen lĂ€sst.
\(\exp(x):=e^x=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)\)
wobei\(\begin{array}{rcl}S_n(x):=\sum\limits_{k=0}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}&=&\displaystyle\frac{x^0}{0!}+\displaystyle\frac{x^1}{1!}+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\dots+\displaystyle\frac{x^k}{k!}\\&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\ldots+\displaystyle\frac{x^k}{k!}\end{array}\)
ist. Man könnte also auch schreiben\(\begin{array}{rcl}\exp(x):=e^x&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\dots+\displaystyle\frac{x^n}{n!}+\ldots\\&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{6}+\displaystyle\frac{x^4}{24}+\ldots\end{array}\)
Wir mĂŒssen uns zunĂ€chst vergewissern, dass die Folge \((S_n(x))_{n\in \mathbb {N}}\) ĂŒberhaupt fĂŒr jedes feste \(x \in \mathbb{R}\) konvergiert.
FĂŒr \(x=0\) ist das klar, da unabhĂ€ngig von \(n\) immer \(S_n(0)=1\) ist.
FĂŒr eine feste Zahl \(x> 0\) wollen wir den Satz ĂŒber die monotone Konvergenz anwenden und zeigen, dass die Folge \((S_n(x))_{n\in \mathbb{N}}\) eine monoton wachsende Folge ist, die durch eine feste Zahl von oben beschrĂ€nkt ist.
Dazu wĂ€hlt man zunĂ€chst eine natĂŒrliche Zahl \(N\in \mathbb{N}\) mit \(N>2|x|\). Dann ist fĂŒr \(n\geq ~ N\)
\(\displaystyle\frac{x^n}{n!}=\displaystyle\frac{x^N}{N!}\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{N+1}}_{<\frac{1}{2}}\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{N+2}}_{<\frac{1}{2}}\dots\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{n}}_{<\frac{1}{2}}<\displaystyle\frac{x^N}{N!}2^{n-N}\)
Summiert man nun auf, so erhÀlt man
\(S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+\sum\limits_{k=N}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}< \sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+\displaystyle\frac{x^N}{N!}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots\right)= \sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+2\displaystyle\frac{x^N}{N!} \)
unabhĂ€ngig von \(n\). Die Folge \((S_n(x))_{n\in\mathbb{N}}\) ist also (fĂŒr jedes feste \(x>0\)) nach oben beschrĂ€nkt. Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt somit die Konvergenz der Folge. Die Zahl \(\exp(x)\) ist dann definiert als der Grenzwert dieser Folge.
FĂŒr negative \(x<0\) ist die Argumentation etwas komplizierter, mit dem Kapitel ĂŒber "Reihen" im 2.Semester lĂ€sst sich die Konvergenz dann aber relativ problemlos auch fĂŒr \(x<0\) zeigen.
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