11.3 Exponentialfunktion (Fortsetzung)

Wenn man die Exponentialfunktion mit Hilfe eines Grenzwerts definiert, ist zunächst nicht klar, dass auch tatsächlich die üblichen Rechenregeln für Potenzen gelten. Daher muss man eigentlich die folgende Aussage nachweisen:

Beweisidee: Wenn man von der unendlichen Summe für \(e^x\) und \(e^y\) jeweils nur einige Terme "‘mitnimmt"’, dann kann man diese (endlichen!) Summen problemlos miteinander multiplizieren. Zum Beispiel ist bis zu Termen 3. Ordnung

\(\begin{array}{rcl}&&(1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{6})(1+y+\displaystyle\frac{y^2}{2}+\displaystyle\frac{y^3}{6})\\&=&1+x+y+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{y^2}{2}+xy+\displaystyle\frac{x^3}{6}+\displaystyle\frac{x^2y}{2}+\displaystyle\frac{xy^2}{2}+\displaystyle\frac{y^3}{6}+\dots\end{array}\)

wobei die noch folgenden Terme alle mindestens von 4. Ordnung sind. Auch wenn man von der Exponentialsumme weitere Terme hinzunimmt, also \(\displaystyle\frac {x^4}{4!}\) etc. kommen beim Ausmultiplizieren nur Terme von vierter und höherer Ordnung hinzu.

Aus dem obigen Ergebnis machen wir unter Benutzung des Binomischen Satzes

\(\begin{array}{rcl}&&(1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{6})(1+y+\displaystyle\frac{y^2}{2}+\displaystyle\frac{y^3}{6})\\&=&1+(x+y)+\displaystyle\frac{(x+y)^2}{2!}+\displaystyle\frac{(x+y)^3}{3!}+\dots\end{array}\)

d.h. die ersten Terme der Summe sind genau die ersten Terme von \(e^{x+y}\).
Man kann mit etwas Aufwand ganz allgemein zeigen, dass dies immer noch so ist, wenn man nicht nur Terme bis zur Ordnung 3, sondern bis zu einer beliebigen Ordnung \(n\) betrachtet. Man kann sich sogar überlegen, wie man unendliche Summen miteinander multiplizieren kann und dass dann tatsächlich alle Ordnungen übereinstimmen.

Dies zeigt, dass die Exponentialfunktion die Potenzgesetze erfüllt.

Beweisidee: Wenn \(x_1\) kleiner als \(x_2\) ist, dann ist jedes Glied in der Summe für \(S_n(x_1)\) kleiner als das entsprechende Glied \(S_n(x_2)\). Entsprechend muss auch der Grenzwert \(\exp(x_1)\) kleiner sein als der Grenzwert \(\exp(x_2)\).

Begründung: Für \(x>0\) ist

\(e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\dots+\displaystyle\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\dots>\displaystyle\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\;\Rightarrow\;\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\geq\displaystyle\frac{x}{(n+1)!}\to+\infty\)

Für \(x<0\) ist

\(x^ne^x=(-x)^ne^{-(-x)}=\displaystyle\frac{(-x)^n}{e^{-x}}=\displaystyle\frac{1}{\frac{e^{-x}}{(-x)^n}}\)

Setzt man \(u=-x\), dann ist wegen \(\displaystyle\frac {e^u}{u^n}\to +\infty \)

\(\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{1}{\frac{e^{-x}}{(-x)^n}}=\lim\limits_{u\to+\infty}\displaystyle\frac{1}{\frac{e^u}{u^n}}=0.\)

☐