11.3 Die Exponentialfunktion
11.3 Die Exponentialfunktion
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Exponentialfunktion mathematisch sauber zu definieren. Leider ist es gar nicht so einfach nachzurechnen, dass diese verschiedenen Varianten am Ende genau dieselbe Funktion ergeben. Wer also in der Schule gelernt hat, dass
\(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^n\)
ist, der wird sich hier noch eine Weile gedulden müssen, bevor wir diese Charakterisierung ebenfalls zur Verfügung haben. Eine weitere Charakterisierung ist möglich mittels der Differentialgleichung
\(\dot{x}(t)=x(t)\;\;\;\text{ mit }\;\;\;x(0)=1,\)
deren eindeutige Lösung \(x(t)=e^x\) ist. Auch diese praktische Tatsache wird uns noch begegnen, aber sie wird nicht unserer Definition der Exponentialfunktion zugrundeliegen, obwohl dies manche Bücher mit gutem Grund so machen.
Der Weg, der hier beschritten wird, hat den Vorteil, dass er sich ohne große Probleme später auch für die Exponentialfunktion von komplexen Zahlen, benutzen lässt.
\(\exp(x):=e^x=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)\)
wobei\(\begin{array}{rcl}S_n(x):=\sum\limits_{k=0}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}&=&\displaystyle\frac{x^0}{0!}+\displaystyle\frac{x^1}{1!}+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\dots+\displaystyle\frac{x^k}{k!}\\&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\ldots+\displaystyle\frac{x^k}{k!}\end{array}\)
ist. Man könnte also auch schreiben\(\begin{array}{rcl}\exp(x):=e^x&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\dots+\displaystyle\frac{x^n}{n!}+\ldots\\&=&1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{6}+\displaystyle\frac{x^4}{24}+\ldots\end{array}\)
Wir müssen uns zunächst vergewissern, dass die Folge \((S_n(x))_{n\in \mathbb {N}}\) überhaupt für jedes feste \(x \in \mathbb{R}\) konvergiert.
Für \(x=0\) ist das klar, da unabhängig von \(n\) immer \(S_n(0)=1\) ist.
Für eine feste Zahl \(x> 0\) wollen wir den Satz über die monotone Konvergenz anwenden und zeigen, dass die Folge \((S_n(x))_{n\in \mathbb{N}}\) eine monoton wachsende Folge ist, die durch eine feste Zahl von oben beschränkt ist.
Dazu wählt man zunächst eine natürliche Zahl \(N\in \mathbb{N}\) mit \(N>2|x|\). Dann ist für \(n\geq ~ N\)
\(\displaystyle\frac{x^n}{n!}=\displaystyle\frac{x^N}{N!}\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{N+1}}_{<\frac{1}{2}}\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{N+2}}_{<\frac{1}{2}}\dots\cdot\underbrace{\displaystyle\frac{x}{n}}_{<\frac{1}{2}}<\displaystyle\frac{x^N}{N!}2^{n-N}\)
Summiert man nun auf, so erhält man
\(S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+\sum\limits_{k=N}^n\displaystyle\frac{x^k}{k!}< \sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+\displaystyle\frac{x^N}{N!}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots\right)= \sum\limits_{k=0}^{N-1}\displaystyle\frac{x^k}{k!}+2\displaystyle\frac{x^N}{N!} \)
unabhängig von \(n\). Die Folge \((S_n(x))_{n\in\mathbb{N}}\) ist also (für jedes feste \(x>0\)) nach oben beschränkt. Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt somit die Konvergenz der Folge. Die Zahl \(\exp(x)\) ist dann definiert als der Grenzwert dieser Folge.
Für negative \(x<0\) ist die Argumentation etwas komplizierter, mit dem Kapitel über "Reihen" im 2.Semester lässt sich die Konvergenz dann aber relativ problemlos auch für \(x<0\) zeigen.
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