8.3 Quadriken im \(\mathbb{R}^3\)

Quadriken im \(\mathbb{R}^3\), auch Flächen 2. Ordnung genannt, sind die höherdimensionale Verallgemeinerung der Kegelschnitte Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Man kann nachdem man die Normalform

\(\hat{q}(\vec{z})=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\lambda_3z_3^2+c_1z_1+c_2z_2+c_3z_3+\beta\)

erreicht hat, wieder durch Multiplikation mit einem Faktor dafür sorgen, dass

\(\hat{q}(\vec{z})=0\Leftrightarrow\alpha_1z_1^2+\alpha_2z_2^2+\alpha_3z_3^2+c_1z_1+c_2z_2+c_3z_3+\beta=0\)

wobei \(\alpha _1>0\) und \(\beta \in \{ -1,0,1\} \) liegt.

Wir unterscheiden wieder nach der Anzahl nicht-verschwindender Eigenwerte von \(A\) drei Fälle:

• \(\mathrm{Rang}\, (A)=3\):
  In diesem Fall sind \(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3\neq 0\) und daher \(c_1=c_2=c_3=0\).

  \(\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}-1&=&0\;\;\;\;\text{Ellipsoid, bzw. Kugel, falls}\;\;c=d=e\\[2ex] \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}+1&=&0 \;\;\;\;\text{leere Menge}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}+1&=&0 \;\;\;\;\text{zweischaliges Hyperboloid}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}-1&=&0\;\;\;\;\text{einschaliges Hyperboloid}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}&=&0 \;\;\;\;\text{einzelner Punkt}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}&=&0 \;\;\;\;\text{(Doppel-)Kegel}\end{array}\)

  Zum Zeichnen ist es oft nützlich, sich klarzumachen, wie der Schnitt der Quadrik mit den Koordinatenebenen \(\{ z_1=0\} \), \(\{ z_2=0\} \) oder \(\{ z_3=0\} \) aussieht.

  In einem anderen Fenster Bilder der Quadriken anzeigen
  

• \(\mathrm{Rang}\, (A)=2\):
  

  \(\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-2pz&=&0\;\;\;\;\text{elliptisches Paraboloid}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}-\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-2pz&=&0\;\;\;\;\text{hyperbolisches Paraboloid}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+1&=&0\;\;\;\;\text{leere Menge}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-1&=&0\;\;\;\;\text{elliptischer Zylinder}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}&=&0\;\;\;\;\text{einzelne Gerade}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}-\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}&=&0\;\;\;\;\text{zwei sich schneidende Ebenen}\end{array}\)

• \(\mathrm{Rang}\, (A)=1\):
  Auch in diesem Fall gibt es noch mehrere Möglichkeiten.

  \(\begin{array}{rcl}z_1^2-pz_2&=&0\;\;\;\;\text{parabolischer Zylinder}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}-1&=&0\;\;\;\;\text{zwei parallele Ebenen}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+1&=&0\;\;\;\;\text{leere Menge}\\ \displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}&=&0\;\;\;\;\text{Ebene}\end{array}\)