Kapitel 8: Quadriken

8.1 Was sind Quadriken?

In der Schule haben Sie vermutlich ausführlich quadratische Funktionen und ihre Schaubilder behandelt. In der Regel ist das Schaubild von \(p(x)=ax^2+bx+c\) eine Parabel, die irgendwie gestreckt und verschoben im Koordinatensystem liegt. Diese quadratischen Funktionen sind sozusagen die "einfachsten" nicht-linearen Funktionen.

Wir betrachten nun als Verallgemeinerung davon, quadratische Polynome in mehreren Variablen.

Falls \(A=\mathrm{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\dots ,\lambda_n)\) eine Diagonalmatrix ist, dann ist

\(q(\vec{x})=\vec{x}^T\left(\!\begin{array}{rrrr}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\{\vdots}&&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{array}\!\right)\vec{x}=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\dots+\lambda_nx_n^2\)

eine Summe von "reinen" Quadraten. Einträge von \(A\) abseits der Diagonalen liefern dagegen gemischte Terme der Form \(x_ i x_ j\).

Im folgenden geht es darum, die Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen auszunutzen, um durch eine geeignete Koordinatentransformation die Quadrik in eine möglichst einfache Form zu bringen.

Dabei bedeutet "möglichst einfach":

• von den quadratischen Termen sollen nur noch "‘reine"’ Terme wie \(x_1^2\), \(x_2^2,\ldots \) vorkommen, aber keine gemischten Glieder \(x_1x_2\), \(x_2x_4,\ldots \) etc.

• von den linearen Termen sollen möglichst wenige übrigbleiben, im Idealfall überhaupt keine

• die Koordinatentransformationen sollen Längen und Winkel nicht ändern. Wir werden sehen, dass man mit Drehungen und Verschiebungen auskommen kann.

Wir starten mit der Beobachtung aus dem vorigen Kapitel, dass jede symmetrische Matrix diagonalisierbar ist, genauer, dass es zu einer vorgegebenen symmetrischen Matrix \(A\) eine orthogonale Matrix \(T\) gibt mit \(T^{-1}AT =T^ TAT=D\) wobei \(D\) eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von \(A\) sind. Mehrfache Eigenwerte kommen dabei entsprechend ihrer Vielfachheit auch mehrfach in \(D\) vor. Nun kann man diese Gleichung auch umgekehrt schreiben als

\(A=TDT^T\)

indem man die ursprüngliche Gleichung von links mit \(T\) und von rechts mit \(T^ T\) multipliziert. Damit lässt sich \(q(\vec{x})\) umschreiben:

\(\begin{array}{rcl}q(\vec{x})&=&\vec{x}^TA\vec{x}+\vec{a}^T\vec{x}+\alpha\\&&\\&=&\vec{x}^TTDT^T\vec{x}+\vec{a}^T\vec{x}+\alpha\\&&\\&=&(T^T\vec{x})^TD(T^T\vec{x})+\vec{a}^T\underbrace{TT^T}_{=E_n}\vec{x}+\alpha\end{array}\)

Nun setzt man \(\vec{y}= T^ T \vec{x}\) und erhält durch Einsetzen

\(\begin{array}{rcl}\tilde{q}(\vec{y})&=&\vec{y}^TD\vec{y}+\vec{a}^TT\vec{y}+\alpha\\&&\\&=&\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2+\vec{a}^TT\vec{y}+\alpha\\&&\\&=&\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2+\vec{b}^T\vec{y}+\alpha\end{array}\)

wobei der Vektor \(\vec{b}=T^ T\vec{a}\) aus \(\vec{a}\) genauso entsteht wie \(\vec{y}\) aus \(\vec{x}\).

Im nächsten Kapitel werden wir nachtragen, dass der Wechsel von \(\vec{x}\) zu \(\vec{y}\) mit einer orthogonalen Matrix \(T\) einer Drehung des Koordinatensystems entspricht.
Genauer ist damit Folgendes gemeint: Wenn wir \(\vec{x}=x_1 \vec{e}_1+x_2 \vec{e}_2+x_3 \vec{e}_3\) schreiben, dann entspricht wegen \(T\vec{y}=\vec{x}\)

\(\begin{array}{rcl}T\vec{y}=T(y_1\vec{e}_1+y_2\vec{e}_2+y_3\vec{e}_3)&=&x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3\\{\Leftrightarrow}y_1(T\vec{e}_1)+y_2(T\vec{e}_2)+y_3(T\vec{e}_3)&=&x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3\end{array}\)

der Vektor \((x_1,x_2,x_3)^ T\) im \(\vec{x}\)-Koordinatensystem genau dem Vektor \((y_1,y_2,y_3)^ T\), wenn man im \(\vec{y}\)-Koordinatensystem als Basisvektoren die drei Vektoren \(T\vec{e}_1\), \(T\vec{e}_2\) und \(T\vec{e}_3\) verwendet.

In einem weiteren Schritt kann man nun noch durch quadratisches Ergänzen einige oder alle linearen Terme entfernen. Für all diejenigen Indizes, für die \(\lambda _ j\neq 0\) ist, kann der Term \(\lambda _ j y_ j^2+b_ j y_ j\) mit Hilfe der Transformation

\(z_j=y_j+\displaystyle\frac{b_j}{2\lambda_j}\)

die geometrisch einer Verschiebung entspricht, durch

\(\lambda_jy_j^2+b_jy_j=\lambda_j\left(z_j-\displaystyle\frac{b_j}{2\lambda_j}\right)^2+b_j\left(z_j-\displaystyle\frac{b_j}{2\lambda_j}\right)=\lambda_jz_j^2-\displaystyle\frac{b_j^2}{4\lambda_j}\)

ersetzt werden. So erreicht man schließlich die Normalform

\(\hat{q}(z)=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\dots+\lambda_nz_n^2+c_1z_1+c_2z_2+\dots+c_nz_n+\beta\)

wobei

\(\lambda_jc_j=0\;\;\text{f\"ur\;\;alle\;\;}j\)

d.h. für keinen Index kann gleichzeitig \(\lambda _ j\neq 0\) und \(c_ j\neq 0\) sein. Die Konstante \(\beta \) ergibt sich aus der ursprünglichen Konstante \(\alpha \) und der Summe aller "‘Reste"’ \(-\displaystyle\frac {b_ j^2}{4\lambda _ j}\), die beim quadratischen Ergänzen auftreten.