5.1 Matrizen
Kapitel 5: Rechnen mit Matrizen
5.1 Matrizen
Das Rechnen mit Vektoren spielen Matrizen eine wichtige Rolle. WĂ€hrend man sie bei der Lösung von linearen Gleichungssystem einfach nur als eine Art "AbkĂŒrzung" der Schreibweise auffassen kann, werden wir sehen, dass sie in Wirklichkeit zu viel mehr zu gebrauchen sind.
\(A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right)\)
bestehend aus m Zeilen und n Spalten.
Die EintrĂ€ge \(a_{ij}\) einer Matrix nennt man Koeffizienten und schreibt auch \(A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m\atop 1\leq j\leq n}\) oder kurz \(A=(a_{ij})\) fĂŒr die Matrix.
Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, spricht man von einer reellen Matrix, wenn auch komplexe Zahlen als Koeffizienten erlaubt sind, dann nennt man die Matrix ebenfalls komplex.
Wenn eine Matrix gleich viele Zeilen wie Spalten hat, dann nennt man sie eine quadratische Matrix. Die Koeffizienten \(a_{ij}\) einer solchen \(n\times n\)-Matrix mit \(i=j\), also \(a_{11}\), \(a_{22},\ldots , a_{nn}\) nennt man DiagonaleintrÀge.
\(E_n := \left( \begin{array}{cccc}
1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\ldots&1
\end{array}\right).\)
Wir werden sehen, dass die Einheitsmatrix beim Rechnen mit Matrizen eine Àhnliche Rolle spielt wie die Zahl Eins beim gewöhnlichen Rechnen in mit reellen Zahlen.
Vektoren können wir beim Rechnen wie Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte behandeln. Dabei heiĂen Matrizen mit einer Spalte Spaltenvektoren und Matrizen mit einer Zeile Zeilenvektoren, zum Beispiel
\(S=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\
\vdots\\
a_m\end{array}\right)\text{ und } Z=(a_1,a_2,\ldots,a_n).\)
Man kann die einzelnen Spalten bzw. Zeilen einer \(m\times n\)-Matrix also als Vektoren auffassen. Manchmal ist es praktisch, wenn man sich eine \(m\times n\)-Matrix aus m Zeilenvektoren zusammengesetzt denkt, wÀhrend es in anderen Situationen sinnvoller ist, sich die Matrix als n Spaltenvektoren nebeneinander vorzustellen.