5.1 Matrizen (Fortsetzung)
Addition von Matrizen
Matrizen kann man ausschließlich dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie dieselbe "Größe" haben, also dieselbe Anzahl Spalten und Zeilen. In diesem Fall werden einfach die entsprechenden Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert:
\(\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right)\pm \left(\begin{array}{cccc}b_{11}&\ldots&b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\-1&-3&-4\end{array}\right),\; B=\left(\begin{array}{rr}2&1\\-5&\frac{1}{2}\end{array}\right), \;C=\left(\begin{array}{rr}
1&0\\1&2\\0&3\end{array}\right)\text{ und } D=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\2&0&-2\end{array}\right)\)
Matrizen kann man mit einer beliebigen Zahl \(\lambda \) multiplizieren, indem man jeden der Koeffizienten mit der Zahl multipliziert:
\(\lambda\cdot
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}&\ldots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&\ldots&a_{mn}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda a_{11}&\ldots&\lambda a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\
\lambda a_{m1}&\ldots&\lambda a_{mn}
\end{array}\right)\)
für die Addition von Matrizen gelten auch alle Rechenregeln, die man vom "normalen Rechnen" mit Zahlen her kennt:
\(\begin{aligned} A+B & = B+A\\ (A+B)+C & = A+(B+C)\\ 1\cdot A & = A\\ \alpha(\beta A) & = (\alpha\beta)A\\ (\alpha+\beta) A& = \alpha A+\beta A\\ \alpha(A+B) & = \alpha A+\alpha B \end{aligned}\)