5.1 Matrizen
Kapitel 5: Rechnen mit Matrizen
5.1 Matrizen
Das Rechnen mit Vektoren spielen Matrizen eine wichtige Rolle. Während man sie bei der Lösung von linearen Gleichungssystem einfach nur als eine Art "Abkürzung" der Schreibweise auffassen kann, werden wir sehen, dass sie in Wirklichkeit zu viel mehr zu gebrauchen sind.
\(A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right)\)
bestehend aus m Zeilen und n Spalten.
Die Einträge \(a_{ij}\) einer Matrix nennt man Koeffizienten und schreibt auch \(A=(a_{ij})_{1\leq i\leq m\atop 1\leq j\leq n}\) oder kurz \(A=(a_{ij})\) für die Matrix.
Sind die Koeffizienten reelle Zahlen, spricht man von einer reellen Matrix, wenn auch komplexe Zahlen als Koeffizienten erlaubt sind, dann nennt man die Matrix ebenfalls komplex.
Wenn eine Matrix gleich viele Zeilen wie Spalten hat, dann nennt man sie eine quadratische Matrix. Die Koeffizienten \(a_{ij}\) einer solchen \(n\times n\)-Matrix mit \(i=j\), also \(a_{11}\), \(a_{22},\ldots , a_{nn}\) nennt man Diagonaleinträge.
\(E_n := \left( \begin{array}{cccc}
1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\ldots&1
\end{array}\right).\)
Wir werden sehen, dass die Einheitsmatrix beim Rechnen mit Matrizen eine ähnliche Rolle spielt wie die Zahl Eins beim gewöhnlichen Rechnen in mit reellen Zahlen.
Vektoren können wir beim Rechnen wie Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte behandeln. Dabei heißen Matrizen mit einer Spalte Spaltenvektoren und Matrizen mit einer Zeile Zeilenvektoren, zum Beispiel
\(S=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\
\vdots\\
a_m\end{array}\right)\text{ und } Z=(a_1,a_2,\ldots,a_n).\)
Man kann die einzelnen Spalten bzw. Zeilen einer \(m\times n\)-Matrix also als Vektoren auffassen. Manchmal ist es praktisch, wenn man sich eine \(m\times n\)-Matrix aus m Zeilenvektoren zusammengesetzt denkt, während es in anderen Situationen sinnvoller ist, sich die Matrix als n Spaltenvektoren nebeneinander vorzustellen.