6.3 Rechenregeln für Determinanten

Eine Möglichkeit, die Determinante einer Matrix zu berechnen, besteht darin, die Matrix durch geeignete Umformungen so lange zu vereinfachen, bis die Determinante problemlos abgelesen werden kann. Dabei sind folgende Regeln anzuwenden.

Satz (Zeilenumformungen):
Sei \(A = \left(\begin{array}{rrr} a_{11}& \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right)\) eine \(n\times n\)-Matrix mit Zeilenvektoren \(a_1,a_2,\ldots , a_n\). Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

  • Entsteht die Matrix \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem zwei Zeilen miteinander vertauscht werden, dann ist \(\det (\tilde{A})=-\det (A)\).

  • Entsteht \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem die \(j\)-te Zeile mit einer Zahl \(\lambda \in \mathbb {R}\) multipliziert wird, dann ist \(\det (\tilde{A})=\lambda \det (A)\).

  • Entsteht \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem ein Vielfaches der \(i\)-ten Zeile zur \(j\)-te Zeile addiert wird, dann ist \(\det (\tilde{A})=\det (A)\).

Bemerkung:

Multipliziert man jede Zeile von \(A\) mit \(\lambda \), dann wird aus der Matrix \(A\) die Matrix \(\lambda \cdot A\). Wendet man die zweite Eigenschaft n-mal an, dann erhält man in jedem Schritt einen Faktor \(\lambda\) dazu und man sieht, dass \(\det (\lambda \cdot A)=\lambda^n \det (A)\) ist.

Tipp: Wenn man Determinanten von "großen" Matrizen (\(4\times 4\) aufwärts) berechnen will, empfiehlt sich oft ein Kombination dieser Rechenregeln mit dem Entwickeln nach Zeilen oder Spalten. Konkret kann man oft durch einfaches Addieren oder Subtrahieren von Zeilen oder Spalten dafür sorgen, dass einer oder mehrere Einträge verschwinden und so beim Entwickeln weniger Unterdeterminanten berechnet werden müssen.

Einige Beispiele zur Berechnung von Determinanten findet man hier.

Beispiel (Determinante einer oberen Dreiecksmatrix):
Sei

\(B=\left(\begin{array}{rrrrr}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\ldots&b_{1n}\\0&b_{22}&b_{23}&&\vdots\\0&0&b_{33}&&\vdots\\\vdots&&&\ddots&\vdots\\0&\ldots&&0&b_{nn}\end{array}\right)\)


eine obere Dreiecksmatrix. Dann ist \(\det (B)=b_{11} \cdot b_{22}\cdot \ldots \cdot b_{nn}\)

Satz:
Für alle \(n\times n\)-Matrizen \(A\) ist \(\det (A^T)=\det (A)\).


Eine Folgerung hieraus ist, dass die Regeln, die wir oben für Zeilen der Matrix formuliert haben, genauso für Spalten gelten.

Satz:
Sei \(A\) eine \(n\times n\)-Matrix. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

  • Entsteht die Matrix \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem die \(i\)-te und die \(j\)-te Spalte vertauscht werden, dann ist \(\det (\tilde{A})=-\det (A)\).

  • Entsteht \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem die \(j\)-te Spalte mit einer Zahl \(\lambda \in \mathbb {R}\) multipliziert wird, dann ist \(\det (\tilde{A})=\lambda \det (A)\).

  • Entsteht \(\tilde{A}\) aus \(A\), indem ein Vielfaches der \(i\)-ten Spalte zur \(j\)-te Spalte addiert wird, dann ist \(\det (\tilde{A})=\det (A)\).

Satz:
Sei \(A\) eine \(n\times n\)-Matrix. Dann gilt

\(\mathrm{Rang}\,(A) < n \Leftrightarrow \det(A)=0 \)

beziehungsweise umgekehrt

\(\mathrm{Rang}\,(A)=n \Leftrightarrow \det(A) \neq 0.\)


Mit anderen Worten:
Die Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht verschwindet.

Beweis: Der Rang einer Matrix war definiert als die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten. Bei einer nxn-Matrix kann der Rang also höchstens n sein. Durch elementare Zeilenumformungen wie beim Gauß-Verfahren kann man \(A\) in Zeilenstufenform bringen. Nach den Rechenregeln für Determinanten ändert sich dabei höchstens das Vorzeichen der Determinante (falls man Zeilen vertauscht). Wenn also \(\tilde{A}\) irgendeine Zeilenstufenform von \(A\) ist, dann gilt zumindest

\(|\det\tilde{A}|=|\det(A)|.\)

Wir zeigen nun die beiden Richtungen der oberen Äquivalenz.

\(\Rightarrow\):

Ist \(\mathrm{Rang}\,(A) < n\), dann besitzt \(\tilde{A}\) eine Zeile, die nur aus Nullen besteht. Wegen der Linearität der Determinante ist dann \(\det \tilde{A}=0\) und damit auch \(\det(A)=0\).

\(\Leftarrow\):

Falls \(\det(A)=0\) ist, dann muss \(\mathrm{Rang}(A) < n\) sein, denn im Fall \(\mathrm{Rang}\,(A)=n\) hat die Zeilenstufenform von \(A\) die Gestalt

\(\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrrr} b_{11} & \ast & \ldots & \ast\\ 0& b_{22}& \ldots& \ast\\ \vdots & & \ddots&\vdots\\ 0&\ldots&\ldots&b_{nn} \end{array}\right)\)


mit \(b_{11}\neq 0, b_{22}\neq 0, \ldots , b_{nn}\neq 0\). Die Determinante dieser oberen Dreiecksmatrix ist dann \(\det(\tilde{A})=b_{11}\cdot b_{22}\cdot \ldots \cdot b_{nn}\neq 0\) und damit wäre auch \(\det A\neq(0)\) im Widerspruch zu unserer Annahme oben.

Satz:
Seien \(A,B\) zwei \(n\times n\)-Matrizen. Dann gilt

\(\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B).\)


Daraus ergibt sich direkt die Determinante von inversen Matrizen:

Satz:
Ist \(A\) eine invertierbare \(n\times n\)-Matrix. Dann ist

\(\det(A^{-1})=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}=(\det(A))^{-1}.\)

denn:

\(\det(A)\cdot\det(A^{-1})=\det(A\cdot A^{-1})=\det(E_n)=1.\)

Bemerkung:
Im allgemeinen (das heißt: praktisch immer) ist \(\det (A+B)\neq \det A +\det B\).

Satz (Determinanten von Blockdiagonalmatrizen):

Seien \(A\) eine \(m\times m\)-Matrix, \(B\) eine \(m\times n\)-Matrix und \(C\) eine \(n\times n\)-Matrix. Dann ist die Determinante der \((m+n)\times (m+n)\)-Blockdiagonalmatrix \(\left(\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline 0_{n\times m} & C \end{array}\right)\) gerade

\(\det\left(\begin{array}{c|c}A&B\\\hline0_{n\times m}&C \end{array}\right)=\det(A)\cdot\det(C).\)

Diese Regel können Sie hier direkt anwenden:

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Last modified: Friday, 21 February 2025, 10:58 AM