6.3a Beispiele zur Berechnung von Determinanten

Mit Hilfe der Sarrus-Regel kann man die Determinanten von 3x3-Matrizen bestimmen:

$$ \begin{array}{rcl} & &\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1& -2 &-1\end{array}\right| \\& & \\ &= & 3\cdot 1\cdot (-1)+2\cdot 1\cdot 1+1\cdot (-1)\cdot(-2)-3\cdot 1\cdot (-2)-2\cdot(-1)\cdot(-1) -1\cdot 1\cdot 1\\ & = & 4\end{array} $$

Die Determinante einer 4x4-Matrix kann man mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes auf die Berechnung von 3x3-Matrizen zurückführen:

$$ \begin{array}{rcl} & &\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ 3& 0 & -2 &-1\\1& -2&0&4\end{array}\right| \\ & & \\ &= & 2\cdot \left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & -2 &-1\\ -2&0&4\end{array}\right| +2\cdot \left|\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0\\ 3& 0 &-1\\1& -2&4\end{array}\right| -1\cdot \left|\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 3& 0 & -2 \\1& -2&0\end{array}\right| \\ & & \\ & = & 2\cdot (-6) +2\cdot(-11)-1\cdot(-4)\\ & & \\ & = & -30 \end{array} $$

Die auftretenden 3x3-Determinanten wurden hier ohne Zwischenschritte direkt ausgewertet.

Die Berechnung der Determinante aus Beispiel 2 kann man deutlich vereinfachen, indem man den Laplaceschen Entwicklungssatz mit einigen Zeilenumformungen kombiniert:

Dazu werden zunächst die erste und letzte Zeile vertauscht und dann jeweils Vielfache der ersten Zeile zu allen anderen Zeilen addiert, so dass in der ersten Spalte überall Nullen entstehen.

$$ \begin{array}{rcl} & &\left|\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ 3& 0 & -2 &-1\\1& -2&0&4\end{array}\right| = -\left|\begin{array}{rrrr} 1& -2&0&4\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ 3& 0 & -2 &-1\\2 & 0 & 2 & 1\end{array}\right| \\ & & \\ & = & -\left|\begin{array}{rrrr} 1& -2&0&4\\ 0 & -1 & 1 & 4\\ 0& 6 & -2 &-13\\ 0 & 4 & 2 & -7\end{array}\right| \end{array} $$

Durch Entwickeln nach der ersten Spalte ergibt sich weiter

$$ \begin{array}{rcl} & = & -\left|\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 4\\ 6 & -2 &-13\\ 4 & 2 & -7\end{array}\right| \\ & & \\ & = & (-2)\cdot(-7)-(-13)\cdot 4-4\cdot 6\cdot 2+1\cdot 6\cdot(-7)-(-13)\cdot 2+4\cdot (-2)\cdot 4 \\ & = & -30 \end{array} $$