2.1a Vektoren (Fortsetzung)
2.1 Vektoren (Fortsetzung)
Rechnen mit Vektoren
FĂŒr Vektoren gibt es zunĂ€chst einmal zwei Rechenoperationen: Die Addition von Vektoren und die skalare Multiplikation (Skalierung) von Vektoren, die man nicht mit dem spĂ€ter noch auftretenden Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren verwechseln sollte.
Die HintereinanderausfĂŒhrung von zwei Parallelverschiebungen \(\overrightarrow {PQ}\) und \(\overrightarrow{QR}\) ergibt wieder eine Parallelverschiebung, nĂ€mlich \(\overrightarrow{PR}\), denn der Punkt P wird ja zunĂ€chst nach Q und von Q aus nach R verschoben, insgesamt also von P nach R.
Geometrisch kann man sich das sehr anschaulich klarmachen, indem man die entsprechenden Vektorpfeile aneinandersetzt.
Unter einem Fachwerk versteht man ein Tragwerk aus geraden, masselosen StĂ€ben, bei denen jeder Stab an zwei Knoten gelenkig mit anderen StĂ€ben verbunden ist, z.B. bei BrĂŒcken, KrĂ€nen oder Strommasten.
An den Knoten können Ă€uĂere KrĂ€fte angreifen, auĂerdem sind eventuell einer oder mehrere der Knoten fest oder verschiebbar gelagert.
In der Technischen Mechanik bestimmt man die auftretenden KrÀfte durch Gleichgewichtsbedingungen, d.h. an jedem einzelnen Knoten muss die vektorielle Addition der dort angreifenden KrÀfte \(\vec{0}\) ergeben.
Dies fĂŒhrt dann auf ein Lineares Gleichungssystem, wie wir es in Kapitel 4 behandeln.
FĂŒr die Vektoraddition gelten Ă€hnliche Rechenregeln wie fĂŒr die Addition von reellen Zahlen.
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\(\;\; \vec{x}+\vec{y}=\vec{y}+\vec{x}\; \; \; \; \) (KommutativitÀt)
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\(\;\; (\vec{x}+\vec{y})+ \vec{z}=\vec{x} +(\vec{y}+\vec{z})\; \; \; \; \) (AssoziativitÀt)
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\(\;\; \vec{x}+\vec{0}= \vec{0}+ \vec{x}=\vec{x}\), d.h. der Nullvektor ist das neutrale Element
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\(\;\; \vec{x}+(-\vec{x})= \vec{0}\), d.h. \(-\vec{x}\; \; \) ist das inverse Element von \(\vec{x}\)
Vektoren kann man zum Addieren also einfach "AneinanderhÀngen":
DarĂŒber hinaus kann man Vektoren mit einem reellen Faktor skalieren. Der Vektor \(\alpha \vec{v}\) hat dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\), aber die \(\alpha \)-fache LĂ€nge. Wenn \(\alpha <0\) ist, dann zeigen \(\vec{v}\) und \(\alpha \vec{v}\) in entgegengesetzte Richtungen.
Insbesondere erhĂ€lt man fĂŒr \(\alpha =-1\) den schon angesprochenen Vektor \(-\vec{v}=(-1)\vec{v}\), der dieselbe LĂ€nge wie \(\vec{v}\), aber die genau entgegengesetzte Richtung hat.
\(\begin{array}{rcl}\alpha\cdot(\beta\cdot\vec{x})&=&(\alpha\cdot\beta)\cdot\vec{x}\\1\cdot\vec{x}&=&\vec{x}\\\alpha\cdot(\vec{x}+\vec{y})&=&\alpha\cdot\vec{x}+\alpha\cdot\vec{y}\;\;\;\;\text{(Distributivgesetz)}\\ (\alpha+\beta)\cdot\vec{x}&=&\alpha\cdot\vec{x}+\beta\cdot\vec{x}\;\;\;\;\text{(Distributivgesetz)}\end{array}\)
In Koordinaten werden Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, es ist also
\(\vec{x}+\vec{y}=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\{\vdots}\\y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1+y_1\\x_2+y_2\\{\vdots}\\x_n+y_n\end{array}\right)\)
Auch die Skalierung erfolgt komponentenweise, d.h. fĂŒr eine beliebige Zahl \(\alpha \in \mathbb{R}\) gilt:
\(\alpha\cdot\vec{x}=\alpha\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\{\vdots}\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha x_1\\\alpha x_2\\{\vdots}\\\alpha x_n\end{array}\right).\)
\(3\left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 1\end{array}\right) +\left(\begin{array}{r} 2\\ 5\\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 10 \\ -5 \\ 1 \end{array}\right)\)
Einen weiteren Zusammenhang zwischen Punkten in der Ebene bzw. im Raum und Vektoren stellt die folgende Definition her.
Sei im \(\mathbb{R}^2\) oder \(\mathbb{R}^3\) ein kartesisches Koordinatensystem gegeben. Dann ist zu jedem Punkt P der Ortsvektor \(\vec{p}\) von P gegeben als
\(\vec{p}=\overrightarrow{OP}.\)
Insbesondere ist fĂŒr zwei Punkte P und Q mit Ortsvektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) immer \(\overrightarrow {PQ}=\vec{q}-\vec{p}\).