10.4 Rechenregeln für Grenzwerte (Fortsetzung)
Weitere Grenzwerte
Ohne strengen Beweis geben wir jetzt noch einige Grenzwerte an, die hin und wieder von Nutzen sind:
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Es ist
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1\)
und allgemeiner für jede positive Zahl \(a>0\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)
Wenn man also immer "höhere" Wurzeln aus einer Zahl zieht, landet man schließlich (sehr nahe) bei Eins.
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Es gilt sogar
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)obwohl hier sogar der Ausdruck unter der Wurzel immer weiter wächst.
Die Folge
\(1, \, \sqrt{2},\, \sqrt[3]{3},\, \sqrt[4]{4},\, \sqrt[5]{5},\, \sqrt[6]{6},\ldots\)nähert sich also immer mehr der Zahl 1 an.
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Für \(-1< q < 1\) ist
\(\lim\limits_{n\to\infty}nq^n=0\)
d.h. das Abklingen der Folge \(q,q^2,q^3,\ldots \) ist stärker als das Anwachsen der Folge \(1,2,3,\ldots \).
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Für \(-1< q <1\) ist sogar
\(\lim\limits_{n\to\infty}p( n) q^n=0\)
für ein beliebiges Polynom \(p( n)=a_0+a_1 n+a_2n^2+\ldots + a_ k n^k\) d.h. das Abklingen der Folge \(q,q^2,q^3,\ldots \) ist sogar stärker als das Anwachsen der Folge \(p(1),p(2),p(3),\ldots \).
Grenzwerte durch Abschätzungen
Eine Folge \((a_ n)_{n\in \mathbb{N}}\) heißt monoton wachsend, falls \(a_ n\leq a_{n+1}\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\). Falls sogar \(a_ n < a_{n+1}\) für jedes \(n\in \mathbb {N}\), dann heißt die Folge streng monoton wachsend.
Analog heißt eine Folge \((a_ n)_{n\in \mathbb{N}}\) monoton fallend, wenn \(a_n \geq a_{n+1}\) bzw. streng monoton fallend, wenn \(a_n > a_{n+1}\) für alle \(n\in \mathbb{N}\).
Bei einer monoton wachsenden Folge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) gibt es zwei mögliche Verhaltensweisen für \(n\to \infty \):
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Entweder die Folgenglieder werden immer größer und wachsen über jede noch so große Zahl hinaus
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oder die Zuwächse werden immer geringer und alle Folgenglieder bleiben unterhalb einer bestimmten Zahl.
Dieses unterschiedliche Verhalten hängt wiederum eng mit der Konvergenz der Folge zusammen.
Erstaunlicherweise (oder je nach Standpunkt bedauerlicherweise) besagt dieser Satz nur, dass es einen Grenzwert gibt , sagt aber nicht, welche Zahl dieser Grenzwert ist. Das kann aber auch ein Vorteil sein. Während man bei der ursprünglichen Definition der Konvergenz einen "Kandidaten" für den Grenzwert benötigt, um die Folge auf Konvergenz zu überprüfen, ist dies mit diesem Satz nicht notwendig. Man kann auf diese Weise auch konvergente Zahlenfolgen untersuchen, deren Grenzwert eine Zahl ist, die man noch gar nicht "kennt" oder die man nicht leicht errät.
Sei \((e_ n)_{n\in \mathbb {N}}\) die Folge der Zahlen
\(e_n=1+\displaystyle\frac{1}{1!}+\displaystyle\frac{1}{2!}+\dots+\displaystyle\frac{1}{n!}\)
Dann ist die Folge \((e_ n)_{n\in \mathbb {N}}\) eine monoton wachsende Folge und diese konvergiert gegen den Grenzwert
\(e:=\lim\limits_{n\to\infty}e_n.\)
Man nennt \(e \approx 2,71828\) die eulersche Zahl und schreibt auch
\(e=1+\displaystyle\frac{1}{1!}+\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{3!}+\displaystyle\frac{1}{4!}+\dots\)
Begründung: Die Monotonie der Folge sieht man sofort ein, da bei jedem Folgenglied zum vorhergehenden noch etwas hinzuaddiert wird. Das die Folge beschränkt ist, erkennt man beispielsweise mit der folgenden Abschätzung
\(\begin{array}{rcl}e_n&=&1+\displaystyle\frac{1}{1!} + \displaystyle\frac{1}{2!}++\displaystyle\frac{1}{3!}+\displaystyle\frac{1}{4!}\dots+ \displaystyle\frac{1}{n!}\\&=&1+\displaystyle\frac{1}{1}+\displaystyle\frac{1}{2}+ \displaystyle\frac{1}{2{\cdot}2}+\displaystyle\frac{1}{2{\cdot}2{\cdot}2}\ldots+ \displaystyle\frac{1}{2{\cdot}\dots{\cdot}2}\\&=&1+(2-\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}})\leq 3\end{array}\)
wenn man die Summenformel für die geometrische Summe geschickt ausnutzt. Also ist die Folge \((e_n)\) monoton wachsend und von oben beschränkt und damit konvergent.