1.4 Kombinatorik (Fortsetzung)

\(  \left(\!\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\!\right)=\displaystyle\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{1{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}4{\cdot}5{\cdot}6}=13\;983\;816\)

\(\text{Wahrscheinlichkeit}=\displaystyle\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}\)

Bei der Auslosung zur Fußball-WM werden 32 Mannschaften in 8 Vorrunden-Gruppen eingeteilt. In jeder Gruppe wird eine (starke) Mannschaft gesetzt. Aus drei weiteren "‘Töpfen"’ mit jeweils 8 Mannschaften wird dann jeweils eine Mannschaft in jeder Gruppe zugelost.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Gruppen zusammenzustellen?

Die Auslosung benutzt tatsächlich Töpfe (= Urnen), in denen je 8 Kugeln mit den Ländernamen liegen.

Aus jedem Topf werden acht Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und auf den Gruppen A,B,C, zugeteilt. Pro Topf gibt es dafür \(8!=8\cdot  7\cdot \ldots \cdot  2\cdot  1=40.320\) Möglichkeiten
Da die Aufteilung der drei Töpfe unabhängig erfolgt, gibt es insgesamt \(40.320^3\approx 65\) Billionen Varianten.

Wie groß ist die Anzahl der Möglichkeiten, bei dreimaligem Würfeln eine sechs zu erzielen?
Die Übersetzung in ein Urnenmodell geht hier folgendermaßen:

• jede der Zahlen 1 bis 6 entspricht einer Kugel in der Urne

• Ziehen "mit Zurücklegen", da mehrmals dieselbe Augenzahl möglich ist

• die Reihenfolge wird berücksichtigt, da beispielsweise die Würfelergebnisse 1-2-6, 2-1-6 und 4-4-4 jeweils gleich wahrscheinlich sind und man nur mit Berücksichtigung der Reihenfolge gleich wahrscheinliche Elementarereignisse erhält.

Wir vergleichen nun die Anzahl der Möglichkeiten bei dreimaligem Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge aus der Menge \(\{1,2,3,4,5,6\}\) (mögliche Fälle) und die Anzahl der Möglichkeiten bei dreimaligem Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge aus der Menge \(\{1,2,3,4,5\}\) ("ungünstige Fälle"). Die Zahl der günstigen Fälle ist dann die Differenz aus der Zahl aller möglichen Fälle und der Anzahl der ungünstigen Fälle".

Die Gesamtzahl an Möglichkeiten beträgt \(6\cdot  6\cdot  6=216\).

Die Anzahl Möglichkeiten dreimal keine 6 zu ziehen, beträgt \(5\cdot  5\cdot  5=125\).

Die Anzahl der (günstigen) Möglichkeiten mit mindestens einer 6 ist also \(216-125=91\).

\(\Rightarrow \) Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Würfeln eine sechs zu erzielen, beträgt daher \({\displaystyle \displaystyle\frac {91}{216}}\approx 42\% \)

In der Übungsgruppe mit 25 Studierenden haben 10 ihre Aufgaben nicht gemacht. Der Tutor kontrolliert zufällig drei Studierende. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei ihre Aufgaben gemacht haben?

Das entsprechende Urnenmodell sieht folgendermaßen aus:

• 15 weiße und 10 schwarze Kugeln für Studierende mit und ohne Hausaufgaben.

• "‘ohne Zurücklegen"’, da kein Student mehrmals kontrolliert wird

• ohne Berücksichtigung der Reihenfolge

Die Kontrolle entspricht dabei dem Ziehen von drei Kugeln ohne zurücklegen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dabei drei weiße Kugeln zu ziehen.
Insgesamt gibt es \(\left(\begin{array}{c}25 \\ 3\end{array}\right)= 2300\) Möglichkeiten,
Die Anzahl Möglichkeiten nur weiße Kugeln zu ziehen beträgt \({15\choose 3}=455\).
\(\Rightarrow\) die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac {455}{2300}\approx 20 \% \)

Wie groß ist die Anzahl der Möglichkeiten, bei dreimaligem Würfeln zuerst eine gerade Zahl, dann eine durch drei teilbare Zahl und dann eine ungerade Zahl zu würfeln.

• Jede der Zahlen 1 bis 6 entspricht einer Kugel in der Urne
• "‘mit Zurücklegen"’, denn es ist mehrmals dieselbe Augenzahl möglich
• "mit Berücksichtigung der Reihenfolge"
  

Anzahl Möglichkeiten, eine gerade bzw. eine ungerade Zahl zu ziehen: 3
Anzahl Möglichkeiten, eine durch drei teilbare Zahl zu ziehen: 2

Insgesamt also \(3\cdot  2\cdot  3=18\) Möglichkeiten.