Beispiel (Teilbarkeit):
Wir betrachten die beiden Mengen

\(\begin{array}{rcl}M&=&\{n\in\mathbb{N}; \;n\;\text{ ist teilbar durch }\;2\}\;\;\text{ und }\\N&=&\{n\in\mathbb{N};\;n\;\text{ ist teilbar durch }\;3\}.\end{array}\)


Die Vereinigung \(M{\, \cup \,} N\) enthält alle natürlichen Zahlen n, die durch 2 oder durch 3 teilbar sind (oder durch 2 und 3). Also ist

\(M{\,\cup\,}N=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,\ldots\}\)


Der Durchschnitt \(M{\, \cap \,} N\) enthält alle natürlichen Zahlen n, die durch 2 und durch 3 teilbar sind, also

\(M{\cap}N=\{6,12,18,\ldots\}=\{n\in\mathbb{N};\;n\;\text{ ist teilbar durch }\,6\}.\)

Das folgende Geogebra-Applet zeigt graphisch verschiedene Mengen, die aus drei Ausgangmengen A, B und C mit Hilfe der Operationen "Durchschnitt", "Vereinigung" und "Mengendifferenz" gebildet werden können. Versuchen Sie, auf einem Blatt Papier die entsprechenden Mengen zu schraffieren, und überprüfen Sie Ihre Lösung dann mit dem entsprechenden Knopf.

Anregung:
Ein Händler verkauft Smartphones. Aus seinem Sortiment seien
T = die Menge der Modelle mit Touchscreen,
M = die Menge aller Modelle mit UMTS
A = die Menge der Modelle mit Android-Betriebssystem Beschreiben Sie mit Hilfe von Durchschnitten und Vereinigungen von A, T und M die Menge

  • der Android-Handys ohne Touchscreen, aber mit UMTS

  • der Handys, die einen Touchscreen oder UMTS haben

  • einen Touchscreen, aber keine der beiden anderen Eigenschaften haben.

Möglicherweise hilft es, die entsprechenden Mengen graphisch darzustellen.

Häufig begegnet man der Situation, dass eine Menge Teil einer anderen Menge ist.

Definition (Teilmenge):

Seien A und B zwei Mengen.
Dann heißt A Teilmenge von B, geschrieben \(A{\subseteq } B\), falls jedes Element von A auch in B enthalten ist.

Teilmenge anschaulich

Beispiel:
Für die beiden Mengen \(A=\{ 1,2,3,4,5\}\) und \(B=\{ 1,3,5\}\) ist \(B\,\subseteq\,A\).
Nimmt man noch die Menge \(C=\{ 2,4,6\} \) hinzu, dann ist \(A\,\not\subseteq\,C\) und \(C\,\not\subseteq\,A\).

Bemerkung:
Weil es gelegentlich praktisch ist, schreibt man manchmal auch \(B\supseteq A\) statt \(A\,\subseteq\,B\), genauso wie man statt \(a\,\in\,A\) auch \(A\,\ni\,a\) schreiben kann.
Das entspricht in etwa der Freiheit, statt \(x\leq y\) manchmal \(y\geq x\) zu schreiben.

Definition (Mengengleichheit):
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Zum Nachweis der Gleichheit von Mengen kann man auch die folgende Charakterisierung verwenden.

\(A=B\quad{\Longleftrightarrow}\;\;A\,\subseteq\,B\;\text{ und }\;B\,\subseteq\,A.\)

Wenn man zeigen möchte, dass zwei Mengen gleich sind, muss man dann nachprüfen, dass jedes Element von A auch in B enthalten ist und umgekehrt.

Ultime modifiche: mercoledì, 12 febbraio 2025, 17:08