1.1 Mengen (Fortsetzung 1)
\(\begin{array}{rcl}M&=&\{n\in\mathbb{N}; \;n\;\text{ ist teilbar durch }\;2\}\;\;\text{ und }\\N&=&\{n\in\mathbb{N};\;n\;\text{ ist teilbar durch }\;3\}.\end{array}\)
Die Vereinigung \(M{\, \cup \,} N\) enthält alle natürlichen Zahlen n, die durch 2 oder durch 3 teilbar sind (oder durch 2 und 3). Also ist
\(M{\,\cup\,}N=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,\ldots\}\)
Der Durchschnitt \(M{\, \cap \,} N\) enthält alle natürlichen Zahlen n, die durch 2 und durch 3 teilbar sind, also
\(M{\cap}N=\{6,12,18,\ldots\}=\{n\in\mathbb{N};\;n\;\text{ ist teilbar durch }\,6\}.\)
Das folgende Geogebra-Applet zeigt graphisch verschiedene Mengen, die aus drei Ausgangmengen A, B und C mit Hilfe der Operationen "Durchschnitt", "Vereinigung" und "Mengendifferenz" gebildet werden können. Versuchen Sie, auf einem Blatt Papier die entsprechenden Mengen zu schraffieren, und überprüfen Sie Ihre Lösung dann mit dem entsprechenden Knopf.
T = die Menge der Modelle mit Touchscreen,
M = die Menge aller Modelle mit UMTS
A = die Menge der Modelle mit Android-Betriebssystem Beschreiben Sie mit Hilfe von Durchschnitten und Vereinigungen von A, T und M die Menge
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der Android-Handys ohne Touchscreen, aber mit UMTS
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der Handys, die einen Touchscreen oder UMTS haben
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einen Touchscreen, aber keine der beiden anderen Eigenschaften haben.
Häufig begegnet man der Situation, dass eine Menge Teil einer anderen Menge ist.
Seien A und B zwei Mengen.
Dann heißt A Teilmenge von B, geschrieben \(A{\subseteq } B\), falls jedes Element von A auch in B enthalten ist.
Nimmt man noch die Menge \(C=\{ 2,4,6\} \) hinzu, dann ist \(A\,\not\subseteq\,C\) und \(C\,\not\subseteq\,A\).
Das entspricht in etwa der Freiheit, statt \(x\leq y\) manchmal \(y\geq x\) zu schreiben.
Zum Nachweis der Gleichheit von Mengen kann man auch die folgende Charakterisierung verwenden.
\(A=B\quad{\Longleftrightarrow}\;\;A\,\subseteq\,B\;\text{ und }\;B\,\subseteq\,A.\)
Wenn man zeigen möchte, dass zwei Mengen gleich sind, muss man dann nachprüfen, dass jedes Element von A auch in B enthalten ist und umgekehrt.