Anhang: Lösungen quadratischer Gleichungen

Nun führen wir einen weiteren Typ von Gleichungen ein, die quadratischen Gleichungen:

Definition A.2

Unter einer reellen quadratischen Gleichung für die Variable $x \in \mathbb{R}$ verstehen wir eine Gleichung der Form:

$ax^2+bx+c=0$ mit $a,b,c \in \mathbb{R}$ und $a \not=0.$
Ist $a=1$, so sprechen wir von einer quadratischen Gleichung in Normalform.

Eine quadratische Gleichung kann eine, zwei oder keine Lösung haben.

Wir nennen $D=\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$ die Diskriminante. Die Diskriminante gibt uns Auskunft darüber, wie viele Lösungen wir erhalten:

  • Ist $D>0, \quad$ dann existiert die reelle Wurzel $\sqrt{D}$ und die quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen $x_1= -\frac{b}{2a} + \sqrt{D}$ und $x_2=-\frac{b}{2a} - \sqrt{D}$. 
  • Ist $D=0, \quad$ dann existiert die reelle Wurzel $\sqrt{D}=0$ und die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung $x=-\frac{b}{2a}$. 
  • Ist $D<0, \quad$ dann existiert die reelle Wurzel $\sqrt{D}$ nicht und wir erhalten keine Lösung.

Wir wollen jetzt herleiten, warum die Lösungen der quadratischen Gleichung genau diese Form haben. Dazu nutzen wir die binomischen Formeln $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ und $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. Die notwendige Umformung heißt quadratische Ergänzung.

Für einen übersichtlichen Rechenweg betrachten wir nur den Spezialfall $a=1$. Wir werden bei der Umformung eine Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung ziehen müssen. Wir wissen bereits, dass das Ziehen der positiven Wurzel keine Äquivalenzumformung ist. Wenn wir beim Wurzelziehen sowohl die positive als auch negative Wurzel betrachten, verändern wir die Lösungen nicht. Dies ist dann eine Äquivalenzumformung. Wir bezeichnen diese Umformung mit $\pm \sqrt{\;\;}$.

\begin{array} {rcl} 0& = & x^2 + bx + c \qquad \big| \ \text{(in Form der ersten binom. Formel bringen)} \\\\ \Leftrightarrow \qquad 0 & = & (\underbrace{x^2}_{= x^2} + 2 \cdot \underbrace{x}_{=x} \cdot \underbrace{\frac{b}{2}}_{= y}+ \underbrace{\left(\frac{b}{2}\right)^2}_{= y^2} - \left(\frac{b}{2}\right)^2) + c \qquad \big| \ \text{(Umformung in bin. Formel)}\\\\ \Leftrightarrow \qquad 0& = & (x+\frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + c \qquad \big| + \frac{b^2}{4}-c \\\\ \Leftrightarrow \qquad \frac{b^2}{4} - c & = & (x+\frac{b}{2})^2\qquad \big| \pm \sqrt{\;\;}\\\\ \Leftrightarrow \qquad \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c }& = & x+\frac{b}{2} \\\\ \Leftrightarrow \qquad -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} -c }& = & x \end{array}

Die Bestimmung der Lösung fassen wir für den Fall $a=1$, $b=p$ und $c=q$ mit $p,q \in \mathbb{R}$ über die sogenannte „p-q-Formel” zusammen:

Satz A.1: p-q-Formel

Die Lösungen der reellen quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ mit $p,q \in \mathbb{R}$ lauten: $$x_1= -\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \qquad \text{ und } \qquad x_2=-\frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}.$$ $x_1$ und $x_2$ können verschieden sein, gleich sein oder nicht existieren.

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Die nächste Aufgabe verwendet das Eingabeformat Äquivalenz-Checker. Sie finden eine Erklärung dazu im Tutorial über digitale Aufgaben. Falls Sie es noch nicht kennen, schauen Sie es sich dort zuerst an, bevor Sie die Aufgabe bearbeiten.

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