Anhang: Lösungen linearer Gleichungen

Wir beginnen mit der einfachsten Gleichungsart, den linearen Gleichungen:

Definition A.1

Unter einer reellen linearen Gleichung für die Variable $x \in \mathbb{R}$ verstehen wir eine Gleichung der Form:

$ax+b=0$ mit $ a,b \in \mathbb{R},\; a\not=0.$

Bei linearen Gleichungen sind als Äquivalenzumformungen die folgenden Operationen erlaubt: Die Addition und Subtraktion von Zahlen und Termen sowie die Multiplikation und Division von Zahlen und Termen, die von null verschieden sind.

Hinweis

Beim Umformen von Gleichungen geben wir am rechten Rand der Gleichung hinter einem Strich oder in Klammern jeweils an, welche Umformung wir durchgeführt haben. Dies macht es einfacher, die Äquivalenzumformungen nachzuvollziehen. Bei Äquivalenzumformungen setzen wir das Zeichen $\Leftrightarrow$ zwischen die äquivalenten Gleichungen.

Die Lösung einer linearen Gleichung können wir so bestimmen:

$$ \begin{array}{rcl} ax+b &= & 0 \quad \big| -b\\\\ \Leftrightarrow \quad ax &=& -b \quad \big| :a \quad (\text{dies ist m}\ddot{\rm o}\text{glich, da }a \not=0)\\\\ \Leftrightarrow \quad x&=& -\frac{b}{a} \end{array} $$

Für zwei konkrete Zahlenwerte $a=2$ und $b=-6$ lautet die Gleichung: $2x-6=0$. Die Lösung dieser Gleichung ist: $x=- \frac{-6}{2}=3$.

Die nächste Aufgabe verwendet das Eingabeformat Äquivalenz-Checker. Sie finden eine Erklärung dazu im Tutorial über digitale Aufgaben. Falls Sie es noch nicht kennen, schauen Sie es sich dort zuerst an, bevor Sie die Aufgabe bearbeiten.

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