Anhang: Äquivalenzumformungen

Wir werden in diesem Abschnitt verschiedene Arten von Gleichungen betrachten und ihre Lösungen berechnen.

Um eine Lösung einer linearen Gleichung zu bestimmen, müssen wir die Gleichung umformen. Unsere Umformung darf die Lösung aber nicht verändern. Wir werden in dieser Lerneinheit sehen, dass eine Gleichung eine oder mehrere Lösungen haben kann. Auch die Zahl der Lösungen darf sich durch unsere Umformungen nicht verändern.

Umformungen, die diese beiden Eigenschaften haben, nennen wir Äquivalenzumformungen.

Wenn sich Lösungen von Gleichungen durch Umformungen verändern, handelt es sich demnach um keine Äquivalenzumformungen. Hier sehen wir dazu drei Beispiele:

Beispiel 1: Quadrieren einer Gleichung

Wir betrachten die Gleichung $x-2=4$. Durch Ausprobieren sehen wir, dass für $x=6$ die Gleichung erfüllt wird. $x=6$ ist damit eine Lösung. Wenn wir die Gleichung quadrieren, erhalten wir $(x-2)^2=16$. Für diese Gleichung sind sowohl $x=6$ als auch $x=-2$ Lösungen. Die ursprüngliche Gleichung wird durch $x=-2$ aber nicht gelöst. Also haben wir durch das Quadrieren die Zahl der Lösungen der Gleichung erhöht. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

Beispiel 2: Ziehen einer positiven Wurzel

Wir betrachten die Gleichung $(x+2)^2=9$. Durch Ausprobieren sehen wir, dass die Gleichung sowohl durch $x=1$ als auch $x=-5$ gelöst wird. Wenn wir aus der Gleichung die positive Wurzel ziehen, erhalten wir $x+2=3$. Diese Gleichung wird weiterhin durch $x=1$ gelöst, aber nicht mehr durch $x=-5$. Also haben wir durch das Ziehen der positiven Wurzel die Zahl der Lösungen der Gleichung verkleinert. Ziehen der positiven Wurzel ist keine Äquivalenzumformung.

Beispiel 3: Multiplikation mit null

Wir betrachten die Gleichung $x-1=5$ Diese Gleichung wird durch $x=6$ gelöst, aber z.B. durch $x=2$ nicht. Wenn wir die Gleichung mit null multiplizieren, erhalten wir $0\cdot(x-1)=0\cdot 5$. Diese Gleichung $0=0$ hängt nicht von $x$ ab, daher sind alle reellen Zahlen als Lösungen erlaubt. Aber die Lösungen $x=0$ oder $x=3$ sind keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Also haben wir durch die Multiplikation mit null die Zahl der Lösungen erhöht. Dies ist keine Äquivalenzumformung.

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