Definition einer Abbildung

Definition 1.1

Seien $A$ und $B$ Mengen. Unter einer Abbildung von $A$ nach $B$ verstehen wir eine Zuordnung $f$, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element aus $B$ zuordnet, welches wir als $f(x)$ bezeichnen. Wir schreiben $$f:A \to B \qquad \mbox{bzw.} \qquad x \mapsto f(x)$$

Die Menge $A$, mit der wir beginnen, heißt Definitionsbereich. Die Menge $B$, in die die Abbildung führt, heißt Wertebereich. Die Menge $\{ f(x) \;|\; x \in A \} \subseteq B$ wird mit $f(A)$ bezeichnet und heißt das Bild oder die Bildmenge von $A$ in $B$.

Definition_Abbildung

Hinweis

Beachten Sie die unterschiedlichen Pfeile, die in der Definition für Zuordnungen genutzt werden:

  • $f:A \to B$, bei der Zuordnung zwischen Mengen nutzen wir „ $\to$ “.

  • $x \mapsto f(x)$, bei der Zuordnung zwischen einzelnen Elementen nutzen wir „ $\mapsto$ “.

Welche der folgenden Zuordnungen sind Abbildungen?
(Die Lösung steht zum Aufklappen unter den Graphiken)

Aufgabe_Abbildung1

Lösung zum Aufklappen

Die Zuordnung rechts oben ist keine Abbildung, denn nicht in allen Punkten des Definitionsbereiches beginnt ein Pfeil. Die Zuordnung rechts unten ist ebenfalls keine Abbildung, denn die Zuordnung ist nicht eindeutig.




Beispiel

Es ist erlaubt, dass der Definitions- und der Wertebereich von Zuordnungen die gleiche Menge ist.
Wir überprüfen jetzt für ein Beispiel einer Zuordnung der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ zu den natürlichen Zahlen, ob es sich um eine Abbildung handelt. Die Zuordnung, die wir betrachten, bildet natürliche Zahlen auf ihr Quadrat ab, d.h. $$\mathbb{N} \to \mathbb{N} \quad \text{mit} \quad n \mapsto n^2.$$ Ist diese Zuordnung eine Abbildung?
Wir müssen überprüfen, ob wir für jedes beliebige Element aus $\mathbb{N}$ das Quadrat bilden können. Das ist der Fall. Das Quadrat einer natürlichen Zahl ist wieder eine natürliche Zahl.
Wir müssen weiter überprüfen, ob die Zuordnung einer natürlichen Zahl zu ihrem Quadrat eindeutig ist. Auch das ist der Fall.
Damit sind die beiden Eigenschaften aus der Definition überprüft. Diese Zuordnung ist eine Abbildung.
Es ist erlaubt, dass nicht jeder Zahlenwert im Wertebereich getroffen wird, also Bild eines Wertes aus dem Definitionsbereich ist. Hier werden die Zahlen $2$ und $5$ zum Beispiel nicht getroffen, da sie beide nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl sind.

Beispiel

Wir betrachten als weiteres Beispiel die folgende Zuordnung der reellen Zahlen zu den reellen Zahlen: Einer Zahl $x$ wird ein $y$ zugeordnet, für das $y^2=x$ gilt. Diese Zuordnung ist keine Abbildung, denn für $x<0$ finden wir kein $y$ mit der vorgegebenen Eigenschaft und für jedes $x>0$ erhalten wir zwei Elemente, auf die wir $x$ abbilden.

Die Zuordnung $y^2=x$

Abbildung 1.1: Die Zuordnung $y^2=x$
$$ $$