In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit partiellen Differentialgleichungen, welche Prozesse beschreiben, die auf mehreren räumlichen Skalen stattfinden. Unter realistischen Annahmen untersuchen wir dabei sowohl die theoretischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Differentialgleichungen (wie Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen oder deren Regularität), sowie deren praktische Approximierbarkeit. Hierbei wollen wir uns insbesondere mit passenden numerischen Verfahren auseinandersetzen und deren Analysis. Eine zentrale Anwendungen mit der wir uns auseinandersetzen wollen, sind partielle Differentialgleichungen mit springenden Koeffizienten, wie sie beispielsweise zur Modellierung von physikalischen Prozessen in heterogenen Medien zu finden sind. Die zugehörigen Lösungen besitzen typischerweise eine mehrskalige Struktur und wenig Regularität, weshalb hier spezielle numerische Mehrskalenmethoden verwendet werden müssen. Eine weitere Anwendungen, welche in der Vorlesung theoretisch und numerisch behandelt wird, sind sogenannte Bose-Einstein Kondensate, welche ein zentraler Baustein der modernen Quantenmechanik sind.
Die theoretischen Inhalte der Vorlesung werden ergänzt durch Übungsaufgaben. Es besteht damit die Möglichkeit einen Übungsschein zu erwerben.
Voraussetzungen:
Empfohlene Kenntnisse: Grundvorlesungen der Mathematik (insbesondere Analysis) und Grundkenntnisse in Numerik (etwa Einführung in die Numerik). Vorwissen zur Lösung elliptischer Differentialgleichungen oder aus der Funktionalanalysis sind von Vorteil.
Literaturhinweise:
- W. Bao and Y. Cai. Mathematical theory and numerical methods for Bose-Einstein condensation. Kinet. Relat. Models, 6(1):1–135, 2013.
* S.C. Brenner and L.R. Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Texts in Applied Mathematics 15, Second Edition, Springer, 2008
* A. Målqvist and D. Peterseim. Numerical homogenization by localized orthogonal decomposition. SIAM Spotlights 5, ISBN: 978-1-611976-44-1, 2020.
English version:
Numerical methods for multiscale differential equations
In this course, we will be concerned with partial differential equations that describe processes that take place on multiple spatial scales. Under realistic assumptions, we investigate both the theoretical properties of the underlying differential equations (such as existence and uniqueness of solutions or their regularity), as well as their practical approximability. In particular, we will deal with suitable numerical methods and their analysis. A central application that we want to deal with are partial differential equations with jumping coefficients, as they arise for example when modeling physical processes in heterogeneous media. The corresponding solutions typically have a multiscale structure and low regularity, which is why special numerical multiscale methods are required to solve them. Another application that shall be considered in this course are differential equations describing so-called Bose-Einstein condensates (a core topic of modern quantum physics), where we investigate both the analysis of the mathematical models as well as their numerical treatment.
The theoretical content of the course is complemented by exercises. It is possible to acquire an exercise certificate.
Prerequisites:
Recommended prerequisites: Basic mathematics lectures (especially analysis) and basic knowledge of numerics (e.g. Introduction to Numerics). Knowledge about the theory of elliptic differential equations and functional analysis is helpful, but not crucially necessary.
- Kursleiter/in: Patrick Henning