Seminar über p-adische Zahlen (150426-SS 2023)

Das Seminar findet als Blockseminar an drei Tagen im September statt! Informationen zum Termin werden demnächst bekanntgegeben.

Anmeldung:  bis zum 10.5.2023 per E-Mail: a.ivanov@rub.de

Vorbesprechung: Voraussichtlich am Dienstag 16.5 um 16 Uhr (c.t.). Genaueres wird noch bekanntgegeben werden.

Kurze Beschreibung: Dieses Seminar besteht aus einer Mischung aus (Grundlagen von) Analysis, Algebra, Zahlentheorie und Topologie. Es werden die grundlegenden Begriffe dieser Gebiete miteinander verknüpft und am Beispiel der p-adischen Zahlen veranschaulicht.

In der Analysis konstruiert man reelle Zahlen durch Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des üblichen Absolutbetrages. Genauso gut kann man die rationalen Zahlen auch bezüglich anderer, ungewöhnlicher, Absolutbeträge vervollständigen. Alle diese Beträge sind zu Primzahlen assoziiert. Dann erhält man durch Vervollständigung die sogenannten p-adischen Zahlen, die einerseits Stetigkeitseigenschaften der reellen Zahlen aufweisen, andererseits aber eine extrem wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielen (wegen der auftretenden Primzahlen!). Diese Konstruktion eröffnet zum einen ein ganz neues Gebiet, die p-adische Analysis. Zum anderen ergibt sich die extrem nützliche Möglichkeit analytische Methoden (Konvergenz von Folgen und Reihen, Kompaktheit, Stetigkeit, ... ) auf zahlentheoretische Probleme anzuwenden.

Konkret geht es im Seminar darum, die p-adischen Zahlen zu konstruieren und dann deren grundlegende topologische und analytische Eigenschaften zu erforschen.

Vorausetzungen: Grundvorlesungen (Lineare Algebra 1,2, Analysis 1,2). Empfehlenswert, aber nicht zwingend erforderlich) ist es die Vorlesung Zahlentheorie oder die Vorlesung Algebraische Zahlentheorie gehört zu haben oder im laufenden Semester zu hören.

Literaturhinweise:
S. Katok: p-adic Analysis compared with real, Amer. Math. Soc., 2007.
F. Q. Gouvea: p-adic numbers, Springer, 1997.