Abschnittsübersicht

    • Allgemeine Informationen zur Lerneinheit
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      Inhalt

      Die Lerneinheit Schätztheorie behandelt grundlegende mathematische Methoden zur Schätzung unbekannter Parameter auf Grundlage von Daten. Sie besteht aus 4 Kapiteln:

      • Schätzer
      • Schätzmethoden
      • Gütekriterien für Punktschätzer
      • Konfidenzintervalle

      Lernziele

      Am Ende dieser Lerneinheit können Sie

      • Schätzprobleme in einem Sachkontext modellieren, indem Sie den Sachkontext durch ein statistisches Modell beschreiben, um das Schätzproblem mathematisch zu analysieren.
      • einen Schätzer konstruieren, indem Sie die Maximum-Likelihood-Methode oder die Momentenmethode anwenden, um mithilfe dieses Schätzers aus gegebenen Daten einen Schätzwert für einen unbekannten Modellparameter zu berechnen.
      • einen Schätzer anhand verschiedener Qualitätskriterien beurteilen, indem Sie Kenngrößen wie den Bias und den MSE berechnen, um ihn mit anderen Schätzern zu vergleichen.
      • Konfidenzintervalle bei normalverteilten Daten berechnen, indem Sie die entsprechenden Formeln für Ein- oder Zweistichprobenprobleme anwenden, um Schätzunsicherheiten zu quantifizieren.
      • asymptotische Eigenschaften einer Folge von Schätzern oder Konfidenzintervallen visualisieren, indem Sie in R zufällige Daten simulieren, um die Auswirkungen großer Stichprobenumfänge auf die Schätzgenauigkeit und -präzision zu untersuchen.

      Voraussetzungen

      Für diese Lerneinheit benötigen Sie Grundkenntnisse aus einer einführenden Bachelor-Vorlesung zur Stochastik oder Wahrscheinlichkeitsrechnung. Insbesondere werden die folgenden Themen als bekannt vorausgesetzt: Verteilungen von Zufallsvariablen und Zufallsvektoren, bedingte Wahrscheinlichkeiten, stochastische Unabhängigkeit, Produkte von Verteilungen, Erwartungswert und Varianz, Gesetz der großen Zahlen, Normalverteilung und zentraler Grenzwertsatz.

      An manchen Stellen sind Beispiele und Aufgaben enthalten, für deren Verständnis und Bearbeitung Sie elementare Kenntnisse in der Statistik-Software R sowie der Paketsammlung tidyverse benötigen.

      Autor:innen

      Diese Lerneinheit wurde von Axel Bücher, Kathrin Möllenhoff und Christian Müller an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf entwickelt.

    • Kapitel 1: Schätzer
    • Skript: Schätzer Datei
      In diesem Kapitel behandeln wir den theoretischen Rahmen und das grundlegende Vorgehen der Schätztheorie. Wir übertragen Sachkontexte in statistische Modelle und definieren den Begriff des Schätzers.
    • Aufgabe: Statistisches Modell (Variante 1) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen gegebenen Sachkontext durch ein statistisches Modell zu beschreiben. Der Sachkontext ist hier die Lebensdauer von Glühlampen.
    • Aufgabe: Statistisches Modell (Variante 2) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen gegebenen Sachkontext durch ein statistisches Modell zu beschreiben. Der Sachkontext ist hier die Anzahl der in einer Stadt zugelassenen Taxis.
    • Aufgabe: Statistisches Modell (Variante 3) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen gegebenen Sachkontext durch ein statistisches Modell zu beschreiben. Der Sachkontext ist hier die Messung der Stromstärke in einer elektrischen Schaltung.
    • Aufgabe: Schätzfunktion (Variante 1) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, eine Schätzfunktion zu verwenden, um aus einer Stichprobe einen Schätzwert zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Lebensdauer von Glühlampen.
    • Aufgabe: Schätzfunktion (Variante 2) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, eine Schätzfunktion zu verwenden, um aus einer Stichprobe einen Schätzwert zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Anzahl der in einer Stadt zugelassenen Taxis.
    • Kapitel 2: Schätzmethoden
    • Skript: Schätzmethoden Datei
      In diesem Kapitel behandeln wir mathematische Verfahren, mit denen Schätzer konstruiert werden können. Wir erklären jeweils das Prinzip, das dem Verfahren zugrunde liegt, und wenden es auf ausführlich durchgerechnete Beispiele an.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Gammaverteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Gammaverteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Geometrische Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer geometrischen Verteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Gumbel-Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Gumbel-Verteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Normalverteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Normalverteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Pareto-Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Pareto-Verteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Poisson-Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Poisson-Verteilung.
    • Aufgabe: Maximum-Likelihood-Methode: Weibull-Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Maximum-Likelihood-Schätzer zu berechnen. Die Zufallsvariablen folgen hier einer Weibull-Verteilung.
    • Aufgabe: Momentenmethode: Exponentialverteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, den Momentenschätzer für den Parameter einer Exponentialverteilung zu berechnen.
    • Aufgabe: Momentenmethode: Gammaverteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, die Momentenschätzer für die beiden Parameter einer Gammaverteilung zu berechnen.
    • Aufgabe: Momentenmethode: Geometrische Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, den Momentenschätzer für den Parameter einer geometrischen Verteilung zu berechnen.
    • Aufgabe: Momentenmethode: Kontinuierliche Gleichverteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, die Momentenschätzer für die beiden Parameter einer kontinuierlichen Gleichverteilung zu berechnen.
    • Aufgabe: Momentenmethode: Lomax-Verteilung Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, die Momentenschätzer für die beiden Parameter einer Lomax-Verteilung zu berechnen.
    • Kapitel 3: Gütekriterien für Punktschätzer
    • Skript: Gütekriterien für Punktschätzer Datei
      In diesem Kapitel behandeln wir mathematische Kriterien, mit denen die Qualität von Punktschätzern beurteilt werden kann. Wir untersuchen diese Eigenschaften eines Schätzers theoretisch und visualisieren sie mithilfe von Simulationen in R.
    • Aufgabe: Erwartungstreue Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, einen Schätzer auf Erwartungstreue zu überprüfen und einen erwartungstreuen Schätzer zu konstruieren.
    • Aufgabe: Erwartungstreue und Effizienz Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, gegebene Schätzer auf Erwartungstreue zu überprüfen und im Sinne der Effizienz zu vergleichen.
    • Aufgabe: Erwartungstreue und MSE-Effizienz Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, gegebene Schätzer auf Erwartungstreue zu überprüfen und im Sinne der MSE-Effizienz zu vergleichen.
    • Aufgabe: MSE und MSE-Konsistenz Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, den MSE von verschiedenen Schätzern im Bernoulli-Modell zu berechnen und die Schätzer auf MSE-Konsistenz zu überprüfen.
    • Aufgabe: Randomized-Response-Technik Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, in der mathematischen Modellierung einer Interview-Situation einen erwartungstreuen Schätzer zu konstruieren und diesen mit einem bereits bekannten Schätzer im Sinne der Effizienz zu vergleichen.
    • Kapitel 4: Konfidenzintervalle
    • Skript: Konfidenzintervalle Datei
      In diesem Kapitel behandeln wir die Berechnung von Konfidenzintervallen, mit denen Schätzunsicherheiten quantifiziert werden. Wir leiten für verschiedene Schätzprobleme Formeln zur Berechnung von Konfidenzintervallen her und visualisieren sie mithilfe von Simulationen in R.
    • Aufgabe: Konfidenzintervall für den Erwartungswert (Variante 1) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, aus gegebenen Daten ein Konfidenzintervall für einen unbekannten Erwartungswert zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Qualitätskontrolle bei der Abfüllung von reinem Ethanol.
    • Aufgabe: Konfidenzintervall für den Erwartungswert (Variante 2) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, aus gegebenen Daten ein Konfidenzintervall für einen unbekannten Erwartungswert zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Zubereitung einer isotonischen Kochsalzlösung.
    • Aufgabe: Konfidenzintervall für den Erwartungswert (Variante 3) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, in einem Zweistichprobenproblem aus gegebenen Daten ein Konfidenzintervall für die Differenz der beiden unbekannten Erwartungswerte zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Qualitätskontrolle bei der Produktion von Tabletten eines bestimmten Arzneimittels.
    • Aufgabe: Stichprobenumfang für den Erwartungswert (Variante 1) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, eine untere Schranke für den Stichprobenumfang zu berechnen, sodass ein Konfidenzintervall zu einer gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit eine vorher festgelegte Genauigkeit einhält. Der Sachkontext ist hier die Qualitätskontrolle bei der Abfüllung von reinem Ethanol.
    • Aufgabe: Stichprobenumfang für den Erwartungswert (Variante 2) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, eine untere Schranke für den Stichprobenumfang zu berechnen, sodass ein Konfidenzintervall zu einer gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit eine vorher festgelegte Genauigkeit einhält. Der Sachkontext ist hier die Zubereitung einer isotonischen Kochsalzlösung.
    • Aufgabe: Konfidenzintervall für die Varianz (Variante 1) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, aus gegebenen Daten ein Konfidenzintervall für eine unbekannte Varianz zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Qualitätskontrolle bei der Abfüllung von reinem Ethanol.
    • Aufgabe: Konfidenzintervall für die Varianz (Variante 2) Test
      In dieser Aufgabe lernen Sie, aus gegebenen Daten ein Konfidenzintervall für eine unbekannte Varianz zu berechnen. Der Sachkontext ist hier die Zubereitung einer isotonischen Kochsalzlösung.