16.3 Lineare Differentialgleichungen

Es gibt eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen, die man (zumindest im Prinzip) immer mit Trennung der Variablen lösen kann: die skalaren linearen Differentialgleichungen

\(\dot{x}(t)=a(t)x(t)+b(t)\)

mit stetigen Funktionen \(a\) und \(b\).

Wir beginnen mit der homogenen linearen Differentialgleichung

\( \dot{x}(t)=a(t)x(t)\)

setzen also zunächst \(b(t)\equiv 0\). Diese Differentialgleichung mit dem Anfangswert $$x(t_0)=x_0$$ können wir durch Trennung der Variablen lösen. Wir rechnen formal

\(\begin{array}{rcl}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\ln(x(t))=\dfrac{\dot{x}(t)}{x(t)}&=&\,a(t)\\ \ln(x(t))&=&\,\int\limits_{t_0}^ta(\tau)\,\mathrm{d}\tau+\ln(C),\\ x(t)&=&\,C\cdot\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^ta(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right).\end{array}\)

Man rechnet direkt nach, dass dies eine Lösung ist. Durch die Wahl \(C:=x_0\) der Integrationskonstante kann man beliebige Anfangswerte \(x(t_0)=x_0\) realisieren.