16.3 Lineare Differentialgleichungen

Es gibt eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen, die man (zumindest im Prinzip) immer mit Trennung der Variablen lösen kann: die skalaren linearen Differentialgleichungen

$$\dot{x}(t)=a(t)x(t)+b(t)$$

mit stetigen Funktionen $$a$$ und $$b$$.

Wir beginnen mit der homogenen linearen Differentialgleichung

$$\dot{x}(t)=a(t)x(t)$$

setzen also zunächst $$b(t)\equiv 0$$. Diese Differentialgleichung mit dem Anfangswert $$x(t_0)=x_0$$ können wir durch Trennung der Variablen lösen. Wir rechnen formal

$$\begin{array}{rcl}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\ln(x(t))=\dfrac{\dot{x}(t)}{x(t)}&=&\,a(t)\\ \ln(x(t))&=&\,\int\limits_{t_0}^ta(\tau)\,\mathrm{d}\tau+\ln(C),\\
x(t)&=&\,C\cdot\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^ta(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right).\end{array}$$

Man rechnet direkt nach, dass dies eine Lösung ist. Durch die Wahl $$C:=x_0$$ der Integrationskonstante kann man beliebige Anfangswerte $$x(t_0)=x_0$$ realisieren.

Zuletzt geändert: Donnerstag, 18. Oktober 2012, 21:02