9.2 Basis und Dimension
9.2 Basis und Dimension
An dieser Stelle sei an die Definition der linearen UnabhÀngigkeit von Vektoren aus Kapitel 3 erinnert. Anschaulich sind k Vektoren im \(\mathbb{R}^n\) linear unabhÀngig, wenn sie in k "verschiedene Richtungen" zeigen, wenn also keine zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, ein dritter Vektor in der Ebene liegt, die schon von zwei anderen Vektoren aufgespannt wird, etc.
Um die lineare UnabhĂ€ngigkeit von Vektoren nachzuprĂŒfen untersucht man Linearkombinationen der Vektoren.
\(\sum\limits_{j=1}^k\alpha_j\vec{e}_j=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0\)
\(E\) heiĂt linear abhĂ€ngig, falls \(E\) nicht linear unabhĂ€ngig ist.
Falls die Vektoren linear abhÀngig sind, dann ist
\(\alpha_1\vec{e}_1+\alpha_2\vec{e}_2+\dots+\alpha_k\vec{e}_k=0\)
und nicht alle \(\alpha_j\) sind 0. Zum Beispiel könnte \(\alpha_k\neq 0\) sein. In diesem Fall lÀsst sich die Gleichung umformen zu
\(-\displaystyle\frac{\alpha_1}{\alpha_k}\vec{e}_1-\displaystyle\frac{\alpha_2}{\alpha_k}\vec{e}_2-\dots-\displaystyle\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_k}\vec{e}_{k-1}=\vec{e}_k\)
der Vektor \(\vec{e}_k\) lÀsst sich also als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen und hat daher keine "eigene" unabhÀngige Richtung. Man kann auf diese Weise sehen: Falls die k Vektoren linear abhÀngig sind, dann gibt es immer mindestens einen, der sich als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben lÀsst.
Im \(\mathbb{R}^3\) bilden die drei Vektoren \(\vec{v}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right) \), \(\vec{v}_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\) und \(\vec{v}_3=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\) eine Basis, denn man kann nachrechnen, dass die drei Vektoren linear unabhÀngig sind:
\(\alpha_1\vec{v_1} + \alpha_2\vec{v}_2 +\alpha_3 \vec{v}_3 =\vec{0} \)
fĂŒhrt auf das Gleichungssystem
\(\begin{aligned} \alpha_1+ \alpha_2 +\alpha_3 & =0\\ \alpha_2 +\alpha_3 & =0\\ \alpha_1+ \alpha_3 & =0 \end{aligned}\)
Bildet man die Differenz der ersten beiden Gleichungen, erhĂ€lt man \(\alpha_1=0\) und daraus folgt dann mit der dritten Gleichung \(\alpha_3=0\) und schlieĂlich \(\alpha_2=0\).
Dass es keinen vierten Vektor \(\vec{v}_4\in\mathbb{R}^3\) geben kann, so dass \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4\}\) linear unabhÀngig ist, liegt daran, dass ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten und drei Gleichungen nie eine eindeutige Lösung haben kann. Damit ist klar, dass \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}\) eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) sind.
Das ist nicht ganz leicht zu sehen. Man muss dazu nachprĂŒfen, dass fĂŒr jede beliebige natĂŒrliche Zahl \(m\in\mathbb{N}\) die Polynome \(1,x,x^2,\ldots, x^m\) linear unabhĂ€ngig sind, d.h., dass die Gleichung
\(\alpha_0 + \alpha_1 x+\alpha_2x^2 +\ldots+\alpha_m x^m =0 \)
nur dann erfĂŒllt ist, wenn \(\alpha_0=\alpha_1=\ldots=\alpha_m=0\) ist. Dabei muss man berĂŒcksichtigen, dass die Null auf der rechten Seite das Nullpolynom bedeutet, die Gleichung soll also fĂŒr alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten. Ein "richtiges" Polynom m-ten Grades, dessen Koeffizienten \(\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_m\) nicht alle Null sind, hat aber nach dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens \(m\) Nullstellen, daher können nicht alle \(x\in\mathbb{R}\) eine Nullstelle sein, bzw. eben nur dann, wenn das Polynom in Wirklichkeit gar kein "richtiges" Polynom ist, sondern \(\alpha_0=\alpha_1=\ldots=\alpha_m=0\) ist.Wenn man fĂŒr jede noch so groĂe Zahl \(m\) immer \(m\) linear unabhĂ€ngige Vektoren finden kann, spricht man von einem unendlich-dimensionalen Vektorraum.
Wichtig ist, dass man bezĂŒglich einer beliebigen vorgegebenen Basis \(B=\{ \vec{b}_1, \ldots , \vec{b}_n\}\) jeden Vektor \(\vec{v}\) auf genau eine Art als Linearkombination
\(\vec{v}=\alpha_1\vec{b}_1+\alpha_2\vec{b}_2+\ldots+\alpha_n\vec{b}_n\)
darstellen kann. Den Vektor \(\left(\begin{array}{r} \alpha _1 \\ {\vdots }\\ {\alpha _ n}\end{array}\right)\in \mathbb {R}^n\) nennt man die Koordinaten von \(\vec{v}\) bezĂŒglich der Basis \(B\).