Beispiele zur partiellen Integration II

Zwei weitere Integrale, die sich mit partieller Integration lösen lassen:

Man könnte versuchen, dieses Integral durch Substitution zu lösen. Eine mögliche Substitution wäre

\(\cosh(x)=y\). Betrachtet man sich hierzu aber \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\sinh(x)\) und daraus folgend \(dx=\displaystyle\frac{dy}{\sinh(x)}\),

wird deutlich, dass \(\sinh(x)\) nicht ohne weiteres eliminiert werden kann, so dass nicht klar ist, wie man nach der Substitution fortfahren kann.

Alle weiteren Substitutionen führen zu ähnlichen Problemen, so dass hier die partielle Integration gewählt werden muss.

Ausgehend von der Formel \(\int u^\prime(x)\cdot v(x) dx = u(x)\cdot v(x)-\int u(x)\cdot v^\prime(x) dx\) haben wir die Wahl, \(\cosh(x)\) entweder als \(u^\prime(x)\) oder als v(x) zu wählen.

Wählen wir \(\cosh(x)\) als v(x), so wäre automatisch \(u^\prime(x)=2x\) und damit \(u(x)=x^2\). Damit würde das "neue" Integral, welches nach der partiellen Integration stehenbleibt, ein Polynom 2.Grades enthalten, während das "alte" Integral--die eigentliche Aufgabe--ein Polynom 1.Grades enthält. Durch diese Wahl hätte sich die Aufgabe also erschwert.

Merke daher: in den allermeisten Fällen (mit Ausnahme von Integralen der Form \(\int Polynom \cdot \ln(x) \,\mathrm{d}x\)) wählt man das Polynom als \(v(x)\), um den Grad des Polynoms während der partiellen Integration zu verkleinern!!!

Wir wählen also:

\(v(x)=2x \rightarrow v^\prime(x)=2\) und \(u^\prime(x)=\cosh(x) \rightarrow u(x)=\sinh(x)\,.\)

Damit folgt mit obiger Formel:

\(\displaystyle\int\underbrace{2x}_{v(x)}\cdot\underbrace{\cosh(x)}_{u^\prime(x)} dx\)

\(=\underbrace{\sinh(x)}_{u(x)}\cdot\underbrace{2x}_{v(x)}-\int\underbrace{2}_{v^\prime(x)}\cdot\underbrace{\sinh(x)}_{u(x)} dx \)

\(=\underline{\sinh(x)\cdot 2x-2\cdot\cosh(x)}\) als endgültige Lösung.

Eine Substitution führt hier zu ähnlichen Problemen wie in Beispiel 1).

Die mögliche Substitution \(\cos(x)=y\) führt zu \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\sin(x)\), welches sich nicht eliminieren lässt.

Die mögliche Substitution \(e^{-x}=y\) führt zu \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-e^{-x}\), welches sich ebenfalls nicht eliminieren lässt.

Schließlich führt die Substitution \(x=\ln(x)\) zu \(\displaystyle\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}\). Als Ergebnis dieser Substitution bliebe das Integral \(\int \cos(\ln(x) )\cdot y \cdot d\frac{1}{y} dy\) übrig, welches deutlich schwieriger zu lösen ist als die anfängliche Aufgabe.

Daher muss auch hier die partielle Integration gewählt werden. Die Wahl, welcher Faktor als \(v(x)\) genommen wird, ist hierbei nicht von Bedeutung, Beides ist möglich.

Wir wählen hier:

\(v(x)=e^{-x} \rightarrow v^\prime(x)=-e^{-x}\) und

\(u^\prime(x)=\cos(x) \rightarrow u(x)=\sin(x)\)

Wir erhalten:

\(\displaystyle\int\underbrace{e^{-x}}_{v(x)}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{u^\prime(x)} dx\)

\(=\underbrace{\sin(x)}_{u(x)}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{v(x)}-\int\underbrace{-e^{-x}}_{v^\prime(x)}\cdot\underbrace{\sin(x)}_{u(x)} dx \)

\(=\sin(x)\cdot e^{-x}+\int \sin(x)\cdot e^{-x} dx\)

Dies führt zu einer zweiten partiellen Integration. Hierbei ist zu beachten, dass nun zwingend dieselbe Wahl für v(x) getroffen werden muss, da ansonsten eine sich aufhebende Rechnung die Folge wäre.

Wir wählen also:

\(v(x)=e^{-x} \rightarrow v^\prime(x)=-e^{-x}\) und

\(u^\prime(x)=\sin(x) \rightarrow u(x)=-\cos(x)\)

Wir erhalten also:

\(\displaystyle\int\underbrace{e^{-x}}_{v(x)}\cdot\underbrace{\sin(x)}_{u^\prime(x)} dx\)

\(=\underbrace{-\cos(x)}_{u(x)}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{v(x)}-\int\underbrace{-e^{-x}}_{v^\prime(x)}\cdot\underbrace{-\cos(x)}_{u(x)} dx \)

\(=-\cos(x)\cdot e^{-x}-\int e^{-x}\cdot\cos(x) dx\)

Setzen wir dies in die Aufgabe ein, so erhalten wir:

\(\int e^{-x}\cdot\cos(x) \,\mathrm{d}x\)

\(=\sin(x)\cdot e^{-x}-\cos(x)\cdot e^{-x}-\int e^{-x}\cdot\cos(x) \,\mathrm{d}x\)

Wir rechnen nun auf beiden Seiten \(+\int e^{-x}\,x\cdot\cos(x) \,\mathrm{d}x\) und erhalten

\(2\cdot\int e^{-x}\cdot\cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x)\cdot e^{-x}-\cos(x)\cdot e^{-x}\) und somit als Lösung:

\(\underline{\int e^{-x}\cdot\cos(x) \,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{e^{-x}\cdot(\sin(x)-\cos(x))}{2}}\)