Quadriken im \(\mathbb{R}^3\): Rang(A)=3

Quadriken im \(\mathbb{R}^3\) mit Rang(A)=3

In diesem Fall sind in der Normalform

\(\hat{q}(\vec{z})=0\Leftrightarrow\alpha_1z_1^2+\alpha_2z_2^2+\alpha_3z_3^2+c_1z_1+c_2z_2+c_3z_3+\beta=0\)

alle drei Parameter \(\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3\neq 0\) und daher \(c_1=c_2=c_3=0\), denn die linearen Terme lassen sich dann alle durch quadratisches Ergänzen (geometrisch: durch eine Verschiebung) "wegtransformieren".Es bleiben dann folgende Fälle

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}-1=0\) Ellipsoid bzw. Kugel (falls c=d=e)

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}+1=0\) leere Menge

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}+1=0\) zweischaliges Hyperboloid

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}-1 = 0\) einschaliges Hyperboloid

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}+\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2} = 0\) einzelner Punkt

\(\displaystyle\frac{z_1^2}{c^2}+\displaystyle\frac{z_2^2}{d^2}-\displaystyle\frac{z_3^2}{e^2}=0\) (Doppel-)Kegel