4.2 Das Gauß-Verfahren (Fortsetzung)
4.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren (Fortsetzung)
Wie das Gauß-Verfahren konkret funktioniert lernt man am besten, wenn man ein Beispiel betrachtet und anschließend einige Aufgaben dazu selbst bearbeitet.
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\(\begin{array}{rrrrcl}\phantom{-2}x_1&&-4x_3&+3x_4&=&\phantom{-}2\\\phantom{-2}x_1&+2x_2&-8x_3&+x_4&=&\phantom{-}0\\-2x_1&+x_2&+6x_3&-7x_4&=&-5\\\phantom{-2}x_1&-4x_2&+4x_3&+7x_4&=&\phantom{-}6\end{array}\)
In Matrixform lautet dieses lineare Gleichungssystem\(\left(\begin{array}{rrrr|l}1&0&-4&3&2\\1&2&-8&1&0\\-2&1&6&-7&-5\\1&-4&4&7&6\end{array}\right)\)
Indem wir von den Zeilen 2-4 jeweils Vielfache der ersten Zeile subtrahieren, erreichen wir, dass dort an der ersten Stelle jeweils eine Null steht:\(\left(\begin{array}{rrrr|l}1&0&-4&3&2\\0&2&-4&-2&-2\\0&1&-2&-1&-1\\0&-4&8&4&4\end{array}\right)\)
Vertauscht man die zweite und dritte Zeile\(\left(\begin{array}{rrrr|l}1&0&-4&3&2\\0&1&-2&-1&-1\\0&2&-4&-2&-2\\0&-4&8&4&4\end{array}\right)\)
dann kann man noch das \((-2)\)-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile und das Vierfache der zweiten Zeile zur vierten Zeile addieren, um so die Zeilenstufenform\(\left(\begin{array}{rrrr|r}1&0&-4&3&2\\0&1&-2&-1&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\)
zu erreichen. Aus ihr liest man nun ab, dass (wegen der beiden Nullzeilen) zwei der Unbekannten frei gewählt werden dürfen. Setzt man also \(x_3=s\) und \(x_4=t\), dann ergeben sich aus den beiden anderen Gleichungen die Lösungen\( \begin{align*} x_1&=4s-3t+2\\x_2&=2s+t-1 \end{align*} \)
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Die Matrix hat am Ende die Gestalt
\(\left(\begin{array}{rrrrr|r}\alpha_1&\ast&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&\alpha_2&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&0&\alpha_3&\dots&\ast&\ast\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\0&0&0&\dots&\alpha_n&\ast\end{array}\right)\)
wobei die Koeffizienten \(\alpha _1, \alpha _2,\dots ,\alpha _ n\neq 0\) sein sollen und an allen Stellen mit Stern eine beliebige Zahl stehen darf. In diesem Fall kann man die Gleichungen der Reihe nach von unten eindeutig lösen und erhält damit insgesamt eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems.
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Die Matrix hat am Ende die Gestalt
\(\left(\begin{array}{rrrrr|r}\alpha_1&\ast&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&\alpha_2&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&0&\alpha_3&\dots&\ast&\ast\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\0&0&0&\dots&0&0\end{array}\right)\)
mit einer oder mehreren Zeilen, die nur Nullen enthalten. In diesem Fall hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen und man kann so viele Unbekannte frei wählen, wie Nullzeilen vorhanden sind. Die restlichen Unbekannten kann man dann in Abhängigkeit von diesen ausdrücken.
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Die Matrix hat am Ende die Gestalt
\(\left(\begin{array}{rrrrr|r}\alpha_1&\ast&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&\alpha_2&\ast&\dots&\ast&\ast\\0&0&\alpha_3&\dots&\ast&\ast\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\0&0&0&\dots&0&b_n\end{array}\right)\)
mit einer Zahl \(b_ n\neq 0\), d.h. die letzte Gleichung lautet
\(0x_1+0x_2+\dots+0x_n=b_n\)
und kann für keine Wahl von \(x_1,x_2,\dots, x_ n\) erfüllt werden. Das lineare Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung .
Schauen wir doch direkt auf ein Beispiel zum Selbermachen:
Und hier noch ein zweites Beispiel, das ein klein wenig von der oben angegebenen Form abweicht:
Sie haben nun die Wahl: